Seja
uma função 2 -vezes diferenciável tal que:
Considerando a função
definido por:
Calcular
.
(Sugestão: Regra da Cadeia, II Forma)
(Sugestão: Regra da Cadeia, II Forma)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que é duas vezes diferenciável, ou seja, podemos calcular suas segundas derivadas parciais. As condições dadas são:
Além disso, temos uma nova função
. O objetivo é calcular a soma das segundas derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais de funções compostas. Vamos passo a passo para não deixar nada de fora!
Passo 2
Vamos identificar as variáveis dentro de
. Aqui,
é uma função de
e
, mas ela depende de
que, por sua vez, depende de
e
. Especificamente:
Então, podemos reescrever
como:
Para encontrar as derivadas parciais de
, precisamos expressá-las em termos das derivadas parciais de
.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aplicando a Regra da Cadeia:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Precisamos derivar
em relação a
:
Aplicando a Regra da Cadeia novamente:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Primeiro, encontramos
:
Calculando cada termo:
Então:
Agora, derivamos
em relação a
:
Aplicando a Regra da Cadeia:
Simplificando:
Passo 6
Vamos somar
e
:
Observamos que alguns termos se cancelam:
Ficando:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, precisamos calcular
. Primeiro, substituímos
e
:
Sabemos que
e
e
. Então:
Simplificando dentro dos parênteses:
Portanto:
Resposta
A soma das segundas derivadas parciais é
.