Seja z = f(x, y) uma função 2 -vezes diferenciável tal que:
f_xx(-e, 0) = e + 1 e f_yy(-e, 0) = e - 3
Considerando a função F = F(u, v) definido por:
F(u, v) = f(e^u cos(v), e^u sen(v))
Calcular Fuu(1, pi) + Fvv(1, pi).
(Sugestão: Regra da Cadeia, II Forma)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é duas vezes diferenciável, ou seja, podemos calcular suas segundas derivadas parciais. As condições dadas são:
Além disso, temos uma nova função . O objetivo é calcular a soma das segundas derivadas parciais de em relação a e no ponto , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais de funções compostas. Vamos passo a passo para não deixar nada de fora!

Passo 2

Vamos identificar as variáveis dentro de . Aqui, é uma função de e , mas ela depende de que, por sua vez, depende de e . Especificamente:
Então, podemos reescrever como:
Para encontrar as derivadas parciais de , precisamos expressá-las em termos das derivadas parciais de .

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aplicando a Regra da Cadeia:
Calculando cada termo:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Precisamos derivar em relação a :
Aplicando a Regra da Cadeia novamente:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Primeiro, encontramos :
Calculando cada termo:
Então:
Agora, derivamos em relação a :
Aplicando a Regra da Cadeia:
Simplificando:

Passo 6

Vamos somar e :
Observamos que alguns termos se cancelam:
Ficando:
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, precisamos calcular . Primeiro, substituímos e :
Sabemos que e e . Então:
Simplificando dentro dos parênteses:
Portanto:

Resposta

A soma das segundas derivadas parciais é .

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