Calcular o valor da integral e o erro cometido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o valor da integral de de 4 até 4,5 e também descobrir qual foi o erro cometido nesse cálculo. Vamos usar conceitos de cálculo integral e métodos de aproximação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral definida. A integral representa a área sob a curva da função entre os pontos e . No nosso caso, , e .

Passo 3

Para calcular essa integral, podemos encontrar a antiderivada de . A antiderivada de é , desde que .

Passo 4

Aplicando isso à nossa função:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral definida de 4 até 4,5 usando essa antiderivada:

Passo 6

Fazendo as contas:
Então, o valor exato da integral é .

Passo 7

Agora, para calcular o erro cometido, precisamos de uma aproximação da integral. Vamos usar a Regra do Trapézio, que aproxima a área sob a curva como um trapézio.
A fórmula da Regra do Trapézio para um intervalo é:
çã

Passo 8

Aplicando a Regra do Trapézio ao nosso caso:
çã

Passo 9

O valor exato da integral é . A aproximação pela Regra do Trapézio foi .

Passo 10

Agora, calculamos o erro absoluto:
çã

Resposta

O valor exato da integral é (aproximadamente 0,02778) e o erro cometido na aproximação pela Regra do Trapézio foi de aproximadamente 0,000195.

Exercícios relacionados

Calcular o valor da integral
A função admite um valor máximo no intervalo . Usando um processo de interpolação quadrática, obtenha uma aproximação para este valor. Tabele a função com espaçamento entre os pontos para construir o polinômio.
Calcular o valor da integral para .
Considerando que o valor exato desta integral , calcular a diferença entre este valor exato e o valor obtido neste exercício e, ainda, entre o valor exato e o valor obtido no exercício 1.
Dada a função através da tabela abaixo, calcular o valor de:
0 0.0 5.021
1 0.5 6.146
2 1.0 6.630
3 1.5 6.945
4 2.0 7.178
5 2.5 7.364
6 3.0 7.519