Calcular o valor da integral e o erro cometido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular o valor da integral de
de 4 até 4,5 e também descobrir qual foi o erro cometido nesse cálculo. Vamos usar conceitos de cálculo integral e métodos de aproximação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral definida. A integral
representa a área sob a curva da função
entre os pontos
e
. No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Para calcular essa integral, podemos encontrar a antiderivada de
. A antiderivada de
é
, desde que
.
Passo 4
Aplicando isso à nossa função:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral definida de 4 até 4,5 usando essa antiderivada:
Passo 6
Fazendo as contas:
Então, o valor exato da integral é
.
Passo 7
Agora, para calcular o erro cometido, precisamos de uma aproximação da integral. Vamos usar a Regra do Trapézio, que aproxima a área sob a curva como um trapézio.
A fórmula da Regra do Trapézio para um intervalo
é:
Passo 8
Aplicando a Regra do Trapézio ao nosso caso:
Passo 9
O valor exato da integral é
. A aproximação pela Regra do Trapézio foi
.
Passo 10
Agora, calculamos o erro absoluto:
Resposta
O valor exato da integral é
(aproximadamente 0,02778) e o erro cometido na aproximação pela Regra do Trapézio foi de aproximadamente 0,000195.
Exercícios relacionados
Calcular o valor da integral
A função
admite um valor máximo no intervalo
. Usando um processo de interpolação quadrática, obtenha uma aproximação para este valor. Tabele a função com espaçamento
entre os pontos para construir o polinômio.
Calcular o valor da integral para
.
Considerando que o valor exato desta integral
, calcular a diferença entre este valor exato e o valor obtido neste exercício e, ainda, entre o valor exato e o valor obtido no exercício 1.
Dada a função
através da tabela abaixo, calcular o valor de:
|
|
|
---|---|---|
0 | 0.0 | 5.021 |
1 | 0.5 | 6.146 |
2 | 1.0 | 6.630 |
3 | 1.5 | 6.945 |
4 | 2.0 | 7.178 |
5 | 2.5 | 7.364 |
6 | 3.0 | 7.519 |