Calcular o valor da integral e o erro cometido.
integral4^4.5 1x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o valor da integral de de 4 até 4,5 e também descobrir qual foi o erro cometido nesse cálculo. Vamos usar conceitos de cálculo integral e métodos de aproximação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral definida. A integral representa a área sob a curva da função entre os pontos e . No nosso caso, , e .

Passo 3

Para calcular essa integral, podemos encontrar a antiderivada de . A antiderivada de é , desde que .

Passo 4

Aplicando isso à nossa função:
integral 1x^2 , dx = -1x + C
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral definida de 4 até 4,5 usando essa antiderivada:
integral4^4,5 1x^2 , dx = [ -1x ]4^4,5 = -14,5 + 14

Passo 6

Fazendo as contas:
-14,5 + 14 = -29 + 14 = -836 + 936 = 136
Então, o valor exato da integral é .

Passo 7

Agora, para calcular o erro cometido, precisamos de uma aproximação da integral. Vamos usar a Regra do Trapézio, que aproxima a área sob a curva como um trapézio.
A fórmula da Regra do Trapézio para um intervalo Aproximação = b - a2 ( f(a) + f(b) ) é:
çã

Passo 8

Aplicando a Regra do Trapézio ao nosso caso:
Aproximação = 4,5 - 42 ( 14^2 + 14,5^2 ) = 0,52 ( 116 + 120,25 ) çã
= 0,25 ( 0,0625 + 0,0494 ) = 0,25 times 0,1119 = 0,027975

Passo 9

O valor exato da integral é . A aproximação pela Regra do Trapézio foi .

Passo 10

Agora, calculamos o erro absoluto:
Erro = |Valor exato - Aproximação| = |0,02778 - 0,027975| = 0,000195 çã

Resposta

O valor exato da integral é (aproximadamente 0,02778) e o erro cometido na aproximação pela Regra do Trapézio foi de aproximadamente 0,000195.

Exercícios relacionados