Calcular o valor da integral e o erro cometido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular o valor da integral de
de 4 até 4,5 e também descobrir qual foi o erro cometido nesse cálculo. Vamos usar conceitos de cálculo integral e métodos de aproximação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral definida. A integral
representa a área sob a curva da função
entre os pontos
e
. No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Para calcular essa integral, podemos encontrar a antiderivada de
. A antiderivada de
é
, desde que
.
Passo 4
Aplicando isso à nossa função:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral definida de 4 até 4,5 usando essa antiderivada:
Passo 6
Fazendo as contas:
Então, o valor exato da integral é
.
Passo 7
Agora, para calcular o erro cometido, precisamos de uma aproximação da integral. Vamos usar a Regra do Trapézio, que aproxima a área sob a curva como um trapézio.
A fórmula da Regra do Trapézio para um intervalo
é:
Passo 8
Aplicando a Regra do Trapézio ao nosso caso:
Passo 9
O valor exato da integral é
. A aproximação pela Regra do Trapézio foi
.
Passo 10
Agora, calculamos o erro absoluto:
Resposta
O valor exato da integral é
(aproximadamente 0,02778) e o erro cometido na aproximação pela Regra do Trapézio foi de aproximadamente 0,000195.