Calcular o valor da integral
Passo 1
Beleza, temos um exercício onde precisamos calcular a integral definida de
a
da função
. Isso envolve o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente a integração de funções que não são diretamente integráveis por métodos básicos. Vamos precisar usar uma abordagem de série para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
pode ser expandida em uma série de potências. Sabemos que:
Essa é a série geométrica, que nos permite reescrever a nossa integral de uma forma mais manejável.
Passo 3
Agora, vamos substituir a expansão da série na integral:
Podemos trocar a ordem da integral e da soma (isso é válido aqui):
Passo 4
Precisamos agora resolver a integral
. Para isso, usamos a integração por partes, onde escolhemos:
Assim, pela fórmula de integração por partes:
Aplicando:
Avaliado nos limites:
Passo 5
A integral
também pode ser resolvida por integração por partes, de maneira similar. Mas, para simplificar, reconhecemos que essas integrais podem ser expressas em termos de séries de potências e funções especiais, como a função seno integral.
Para fins de cálculo prático, podemos usar aproximações de séries truncadas ou métodos numéricos. No entanto, para este exercício, vamos considerar a aproximação da série até alguns termos para obter uma resposta aproximada.
Passo 6
Calculando os primeiros termos da série para obter uma aproximação razoável:
Calculando cada termo e somando, obtemos uma aproximação para o valor da integral.
Resposta
Aproximadamente, o valor da integral
é cerca de 0,5963.
Exercícios relacionados
A função
admite um valor máximo no intervalo
. Usando um processo de interpolação quadrática, obtenha uma aproximação para este valor. Tabele a função com espaçamento
entre os pontos para construir o polinômio.
Usando interpolação linear, obtenha uma aproximação para a solução da equação
no intervalo
.
Calcular o valor da integral e o erro cometido.
Calcular o valor da integral para
.
Considerando que o valor exato desta integral
, calcular a diferença entre este valor exato e o valor obtido neste exercício e, ainda, entre o valor exato e o valor obtido no exercício 1.