Calcular o valor da integral

Passo 1

Beleza, temos um exercício onde precisamos calcular a integral definida de a da função . Isso envolve o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente a integração de funções que não são diretamente integráveis por métodos básicos. Vamos precisar usar uma abordagem de série para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função pode ser expandida em uma série de potências. Sabemos que:
Essa é a série geométrica, que nos permite reescrever a nossa integral de uma forma mais manejável.

Passo 3

Agora, vamos substituir a expansão da série na integral:
Podemos trocar a ordem da integral e da soma (isso é válido aqui):

Passo 4

Precisamos agora resolver a integral . Para isso, usamos a integração por partes, onde escolhemos:
Assim, pela fórmula de integração por partes:
Aplicando:
Avaliado nos limites:

Passo 5

A integral também pode ser resolvida por integração por partes, de maneira similar. Mas, para simplificar, reconhecemos que essas integrais podem ser expressas em termos de séries de potências e funções especiais, como a função seno integral.
Para fins de cálculo prático, podemos usar aproximações de séries truncadas ou métodos numéricos. No entanto, para este exercício, vamos considerar a aproximação da série até alguns termos para obter uma resposta aproximada.

Passo 6

Calculando os primeiros termos da série para obter uma aproximação razoável:
Calculando cada termo e somando, obtemos uma aproximação para o valor da integral.

Resposta

Aproximadamente, o valor da integral é cerca de 0,5963.

Exercícios relacionados

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Usando interpolação linear, obtenha uma aproximação para a solução da equação no intervalo .
Calcular o valor da integral e o erro cometido.
Calcular o valor da integral para .
Considerando que o valor exato desta integral , calcular a diferença entre este valor exato e o valor obtido neste exercício e, ainda, entre o valor exato e o valor obtido no exercício 1.