Calcular o valor da integral para n=4.
integral0^1 cos (x)1+x d x
Considerando que o valor exato desta integral I=0.6010, calcular a diferença entre este valor exato e o valor obtido neste exercício e, ainda, entre o valor exato e o valor obtido no exercício 1.

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que a gente precisa fazer aqui. Temos uma integral definida de 0 a 1 da função e a gente quer calcular esse valor usando uma técnica com . Isso entra no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente em métodos numéricos para aproximação de integrais. Para resolver, a gente vai precisar usar a regra do trapézio, que é uma forma simples de estimar integrais.

Passo 2

A regra do trapézio divide a área sob a curva em trapézios em vez de retângulos. Com h = b - an = 1 - 04 = 0.25 , vamos dividir o intervalo [0,1] em 4 partes iguais. O tamanho de cada subintervalo, chamado de , é dado por:

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos onde vamos avaliar a função. Esses pontos são:
x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5, x3 = 0.75, x4 = 1

Passo 4

Vamos calcular o valor da função f(x0) = f(0) = cos(0)1+0 = 11 = 1 em cada um desses pontos:
f(x1) = f(0.25) = cos(0.25)1+0.25 approx 0.96891.25 approx 0.7751
f(x2) = f(0.5) = cos(0.5)1+0.5 approx 0.87761.5 approx 0.5851
f(x3) = f(0.75) = cos(0.75)1+0.75 approx 0.73171.75 approx 0.4175
f(x4) = f(1) = cos(1)1+1 approx 0.54032 approx 0.2701

Passo 5

Aplicando a regra do trapézio, a aproximação da integral é dada por:
integral0^1 cos(x)1+x dx approx h2 [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + f(x4)]
Substituindo os valores:
approx 0.252 [1 + 2(0.7751) + 2(0.5851) + 2(0.4175) + 0.2701]
approx 0.125 [1 + 1.5502 + 1.1702 + 0.835 + 0.2701]
approx 0.125 [4.8255] approx 0.6032

Passo 6

Agora, vamos comparar esse resultado com o valor exato da integral, que é Diferença = 0.6032 - 0.6010 = 0.0022 . A diferença entre o valor obtido com e o valor exato é:
ç

Resposta

A diferença entre o valor obtido com e o valor exato é de aproximadamente 0.0022.

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