Dada a função y=f(x) através da tabela abaixo, calcular o valor de:
integral0^3 f(x) d x
i xi yi
0 0.0 5.021
1 0.5 6.146
2 1.0 6.630
3 1.5 6.945
4 2.0 7.178
5 2.5 7.364
6 3.0 7.519

Passo 1

Então, galera! A gente tem uma função que foi tabulada em vários pontos entre e . O que a gente precisa fazer é calcular a integral definida dessa função nesse intervalo, ou seja, descobrir a área sob a curva de de até . Para isso, vamos usar um método de integração numérica chamado Regra dos Trapézios, que é ótimo quando a gente só tem valores discretos da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra dos Trapézios. Basicamente, ela aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em pequenos trapézios ao invés de retângulos. A fórmula geral para a integral usando essa regra é:
integrala^b f(x) dx approx De
Aqui, é a largura de cada subintervalo, e são os limites da integração, e é o número de subintervalos.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso problema. Olhando a tabela, vemos que De varia de 0.0 a 3.0 com intervalos de 0.5, então:
Temos 6 intervalos (de até ).

Passo 4

Vamos identificar os valores de f(x0) = 5.021, f(x1) = 6.146, f(x2) = 6.630, f(x3) = 6.945, f(x4) = 7.178, f(x5) = 7.364, f(x6) = 7.519 na tabela:

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da Regra dos Trapézios:
integral0^3 f(x) dx approx 0.52 [ 5.021 + 2(6.146) + 2(6.630) + 2(6.945) + 2(7.178) + 2(7.364) + 7.519 ]

Passo 6

Vamos calcular dentro dos colchetes primeiro:
5.021 + 2(6.146) = 5.021 + 12.292 = 17.313
17.313 + 2(6.630) = 17.313 + 13.260 = 30.573
30.573 + 2(6.945) = 30.573 + 13.890 = 44.463
44.463 + 2(7.178) = 44.463 + 14.356 = 58.819
58.819 + 2(7.364) = 58.819 + 14.728 = 73.547
73.547 + 7.519 = 81.066

Passo 7

Agora, multiplicamos pelo 0.52 = 0.25 :
81.066 times 0.25 = 20.2665
Então:

Resposta

A integral é aproximadamente 20.267.

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