Calcular o valor de k para que admita soluçāo não-trivial o seguinte sistema:

Passo 1

Então, a gente tem um sistema de equações lineares com duas equações e duas incógnitas:
A matéria que envolve aqui é sistemas lineares e determinantes. A gente precisa encontrar o valor de que faz com que esse sistema tenha uma solução não-trivial, ou seja, uma solução diferente de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um sistema linear homogêneo ter soluções não-triviais, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero. A matriz dos coeficientes aqui é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz é dado por:
Onde:

Passo 4

Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 5

Para que o sistema tenha solução não-trivial, o determinante deve ser igual a zero:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para :

Resposta

O valor de que faz o sistema admitir solução não-trivial é .

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Verifique se o conjunto é uma base.
a) Encontre uma equação linear nas variáveis e que tem e como solução geral.
Considere o sistema de equações
O que você pode dizer sobre a posição relativa das retas e , quando
(b) o sistema tem exatamente uma solução;
Suponha que são vetores tais que e . Calcule: