Calcular o valor de k para que admita soluçāo não-trivial o seguinte sistema:
l 2 x+6 y=0 4 x+k y=0

Passo 1

Então, a gente tem um sistema de equações lineares com duas equações e duas incógnitas:
l 2 x + 6 y = 0 4 x + k y = 0
A matéria que envolve aqui é sistemas lineares e determinantes. A gente precisa encontrar o valor de que faz com que esse sistema tenha uma solução não-trivial, ou seja, uma solução diferente de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um sistema linear homogêneo ter soluções não-triviais, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero. A matriz dos coeficientes aqui é:
2 & 6 4 & k

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz det = a cdot d - b cdot c é dado por:
a & b c & d
Onde:

Passo 4

Aplicando isso à nossa matriz:
det = 2 cdot k - 6 cdot 4 = 2k - 24

Passo 5

Para que o sistema tenha solução não-trivial, o determinante deve ser igual a zero:
2k - 24 = 0

Passo 6

Vamos resolver essa equação para 2k = 24 k = 242 k = 12 :

Resposta

O valor de que faz o sistema admitir solução não-trivial é .

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