Considere o sistema de equações
O que você pode dizer sobre a posição relativa das retas
e
, quando
(b) o sistema tem exatamente uma solução;
(b) o sistema tem exatamente uma solução;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos um sistema de três equações lineares com duas variáveis
e
:
O conteúdo principal aqui é sistemas de equações lineares e a posição relativa de retas no plano. Para resolver, vamos precisar entender como essas retas se relacionam quando o sistema tem exatamente uma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que cada equação desse sistema representa uma reta no plano cartesiano. Por exemplo, a equação
representa uma reta que pode ser desenhada no gráfico.
Quando falamos que o sistema tem exatamente uma solução, isso significa que todas as três retas se cruzam em um único ponto. Em outras palavras, há um ponto específico
que satisfaz todas as três equações simultaneamente.
Passo 3
Para que isso aconteça, as três retas não podem ser paralelas nem coincidentes. Se fossem paralelas, elas nunca se encontrariam, e se fossem coincidentes, teríamos infinitas soluções (pois todas as retas seriam a mesma).
Então, a condição de que o sistema tem exatamente uma solução implica que as três retas são concomitantes em um único ponto. Isso quer dizer que todas elas se intersectam exatamente nesse ponto e não em nenhum outro lugar.
Passo 4
Na prática, para verificar se as três retas se interceptam em um único ponto, podemos resolver o sistema. Se ao resolvermos, encontrarmos um único par
que satisfaz as três equações, confirmamos que as retas se cruzam nesse ponto.
Além disso, podemos usar o conceito de determinante para sistemas de equações lineares. Se o determinante das matrizes formadas pelos coeficientes das variáveis for diferente de zero, o sistema tem uma solução única.
Passo 5
Portanto, quando o sistema de equações dado tem exatamente uma solução, isso nos diz sobre a posição relativa das retas que:
- Todas as três retas se intersectam em um único ponto.
- Nenhuma das retas é paralela às outras.
- Nenhuma das retas é coincidente com outra.
Resposta
Quando o sistema tem exatamente uma solução, as três retas
,
e
se interceptam em um único ponto no plano, ou seja, todas as três retas passam pelo mesmo ponto de interseção.
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e
. Calcule:
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