Suponha que u, v, w são vetores tais que lang<= u, vrang<==2,lang<= u, wrang<==-3,lang<= v, wrang<==5,|u|=1,|v|=2 e |w|=1. Calcule: lang<= u+v, v+wrang<=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o produto interno de dois vetores, lang<= u + v, v + w rang<=, sabendo algumas informações sobre os produtos internos e as normas dos vetores u, v e w.
Conteúdo da matéria: Produto interno de vetores e suas propriedades.
O que precisamos: Usar a propriedade distributiva do produto interno para expandir lang<= u + v, v + w rang<= e depois substituir pelos valores fornecidos no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o produto interno. O produto interno lang<= a, b rang<= tem as seguintes propriedades importantes:
  1. Comutatividade: lang<= a, b rang<= = lang<= b, a rang<=
  2. Linearidade em cada argumento: lang<= a + b, c rang<= = lang<= a, c rang<= + lang<= b, c rang<=
Vamos aplicar essas propriedades para expandir lang<= u + v, v + w rang<=.

Passo 3

Aplicando a propriedade distributiva (linearidade) no primeiro argumento:
lang<= u + v, v + w rang<= = lang<= u, v + w rang<= + lang<= v, v + w rang<=

Passo 4

Agora, aplicamos a propriedade distributiva novamente para cada termo:
lang<= u, v + w rang<= = lang<= u, v rang<= + lang<= u, w rang<=
e
lang<= v, v + w rang<= = lang<= v, v rang<= + lang<= v, w rang<=

Passo 5

Substituindo essas expressões na equação original:
lang<= u + v, v + w rang<= = (lang<= u, v rang<= + lang<= u, w rang<=) + (lang<= v, v rang<= + lang<= v, w rang<=)

Passo 6

Agora, vamos substituir pelos valores fornecidos no enunciado:
  • lang<= u, v rang<= = 2
  • lang<= u, w rang<= = -3
  • lang<= v, v rang<= = |v|^2 = 2^2 = 4 (porque |v| = 2)
  • lang<= v, w rang<= = 5
Então,
lang<= u + v, v + w rang<= = (2 + (-3)) + (4 + 5)

Passo 7

Agora, basta fazer as contas:
lang<= u + v, v + w rang<= = (-1) + 9 = 8

Resposta

O valor de lang<= u + v, v + w rang<= é 8.

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