Suponha que são vetores tais que e . Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o produto interno de dois vetores, , sabendo algumas informações sobre os produtos internos e as normas dos vetores , e .
Conteúdo da matéria: Produto interno de vetores e suas propriedades.
O que precisamos: Usar a propriedade distributiva do produto interno para expandir e depois substituir pelos valores fornecidos no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o produto interno. O produto interno tem as seguintes propriedades importantes:
  1. Comutatividade:
  2. Linearidade em cada argumento:
Vamos aplicar essas propriedades para expandir .

Passo 3

Aplicando a propriedade distributiva (linearidade) no primeiro argumento:

Passo 4

Agora, aplicamos a propriedade distributiva novamente para cada termo:
e

Passo 5

Substituindo essas expressões na equação original:

Passo 6

Agora, vamos substituir pelos valores fornecidos no enunciado:
  • (porque )
Então,

Passo 7

Agora, basta fazer as contas:

Resposta

O valor de é 8.

Exercícios relacionados

Considere o sistema de equações
O que você pode dizer sobre a posição relativa das retas e , quando
(b) o sistema tem exatamente uma solução;
Calcular o valor de k para que admita soluçāo não-trivial o seguinte sistema:
Suponha que são vetores tais que e . Calcule:
Sejam . Para quais valores de os vetores e são ortogonais em relação ao produto interno usual de ?