Verifique se o conjunto beta=(1,1,1),(1,2,3),(1,4,9) é uma base.

Passo 1

Então, o enunciado pede para verificar se o conjunto beta = (1,1,1), (1,2,3), (1,4,9) é uma base. Para isso, vamos trabalhar com o conteúdo de espaços vetoriais e bases. Precisamos saber o que é uma base e quais são os critérios para determinar se um conjunto de vetores forma uma base. Vamos precisar verificar se os vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço vetorial considerado, que nesse caso é R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um conjunto de vetores é uma base de R^3 se ele satisfaz duas condições principais:
  1. Linearmente independentes: Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Geram todo o espaço: Qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como combinação linear desses vetores.
Vamos começar verificando se os vetores em beta são linearmente independentes.

Passo 3

Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com os vetores como colunas e calculamos o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos construir a matriz A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 4 1 & 3 & 9 com os vetores de :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante da matriz det(A) = 1 cdot 2 & 4 3 & 9 - 1 cdot 1 & 4 1 & 9 + 1 cdot 1 & 2 1 & 3 :
2 & 4 3 & 9 = (2 times 9) - (4 times 3) = 18 - 12 = 6
Calculando cada menor:
1 & 4 1 & 9 = (1 times 9) - (4 times 1) = 9 - 4 = 5
1 & 2 1 & 3 = (1 times 3) - (2 times 1) = 3 - 2 = 1
det(A) = 1 cdot 6 - 1 cdot 5 + 1 cdot 1 = 6 - 5 + 1 = 2
Agora, substituímos de volta no determinante:

Passo 5

Como o determinante de é 2, que é diferente de zero ( ), isso significa que os vetores em são linearmente independentes.

Passo 6

Agora, precisamos verificar se os vetores geram todo o espaço . Como já temos 3 vetores linearmente independentes em , isso garante que eles também geram todo o espaço. Isso porque, em um espaço de dimensão 3, qualquer conjunto de 3 vetores linearmente independentes forma uma base.

Resposta

Sim, o conjunto beta = (1,1,1), (1,2,3), (1,4,9) é uma base de R^3.

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