Calcular o valor de m de modo que seja 120^circ o ângulo entre os vetores v=(-3,1, n) e k.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor de de forma que o ângulo entre os vetores e seja de . Vamos usar conhecimentos de produto escalar e magnitudes de vetores para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o ângulo entre dois vetores pode ser encontrado usando a fórmula do produto escalar:
cos(theta) = v cdot k|v| , |k|
Aqui, é o ângulo entre os vetores, é o produto escalar dos vetores, e e são as magnitudes (ou módulos) dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar v cdot k = (-3) times 0 + 1 times 0 + m times 1 = m . O produto escalar de dois vetores é a soma do produto de suas componentes correspondentes:

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores |v| = raiz(-3)^2 + 1^2 + m^2 = raiz9 + 1 + m^2 = raiz10 + m^2 e |k| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 = 1 .
Para :
Para :

Passo 5

Sabemos que o ângulo cos(120^circ) = -12 é , então é:

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula do produto escalar:
-12 = mraiz10 + m^2 times 1 Rightarrow -12 = mraiz10 + m^2

Passo 7

Vamos resolver essa equação para encontrar -12 raiz10 + m^2 = m . Multiplicando ambos os lados por (-12)^2 (10 + m^2) = m^2 Rightarrow 14(10 + m^2) = m^2 :
10 + m^2 = 4m^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
10 = 3m^2 Rightarrow m^2 = 103
Multiplicando ambos os lados por 4:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 8

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar m = pm raiz103 = pm raiz303 :

Resposta

O valor de m = pm raiz303 que satisfaz a condição é:

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