Calcular o valor de
de modo que seja
ângulo entre os vetores
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor de
de forma que o ângulo entre os vetores
e
seja de
. Vamos usar conhecimentos de produto escalar e magnitudes de vetores para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o ângulo entre dois vetores pode ser encontrado usando a fórmula do produto escalar:
Aqui,
é o ângulo entre os vetores,
é o produto escalar dos vetores, e
e
são as magnitudes (ou módulos) dos vetores.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
. O produto escalar de dois vetores é a soma do produto de suas componentes correspondentes:
Passo 4
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Sabemos que o ângulo
é
, então
é:
Passo 6
Substituindo tudo na fórmula do produto escalar:
Passo 7
Vamos resolver essa equação para encontrar
. Multiplicando ambos os lados por
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 8
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Resposta
O valor de
que satisfaz a condição é: