Seja . Determine os valores de e a fim de que a matriz seja antissimétrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes aqui: a matriz e a matriz . A tarefa é encontrar os valores de e de modo que a matriz seja antissimétrica. Antissimétrica, nesse caso, significa que a matriz é igual ao seu negativo transposto. Vamos precisar lembrar das propriedades de matrizes antissimétricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser antissimétrica. Uma matriz é antissimétrica se, ao transpor (ou seja, trocar suas linhas por colunas) e multiplicar por , ela continua a mesma matriz. Matematicamente, isso é escrito como:
Isso implica que os elementos na diagonal principal de uma matriz antissimétrica devem ser zero, já que cada elemento é igual ao seu negativo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à matriz :
Primeiro, vamos transpor :
De acordo com a propriedade da antissimetria:
Então:
Passo 4
Agora, vamos igualar os elementos correspondentes das duas matrizes:
Para o elemento (1,1):
Isso implica que:
Para o elemento (1,2):
Isso já está satisfeito.
Para o elemento (2,1):
Também satisfeito.
Para o elemento (2,2):
Somando em ambos os lados:
Somando 1 em ambos os lados:
Resposta
Os valores que fazem a matriz ser antissimétrica são e .