Seja . Determine os valores de e a fim de que a matriz seja antissimétrica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes aqui: a matriz e a matriz . A tarefa é encontrar os valores de e de modo que a matriz seja antissimétrica. Antissimétrica, nesse caso, significa que a matriz é igual ao seu negativo transposto. Vamos precisar lembrar das propriedades de matrizes antissimétricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser antissimétrica. Uma matriz é antissimétrica se, ao transpor (ou seja, trocar suas linhas por colunas) e multiplicar por , ela continua a mesma matriz. Matematicamente, isso é escrito como:
Isso implica que os elementos na diagonal principal de uma matriz antissimétrica devem ser zero, já que cada elemento é igual ao seu negativo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à matriz :
Primeiro, vamos transpor :
De acordo com a propriedade da antissimetria:
Então:

Passo 4

Agora, vamos igualar os elementos correspondentes das duas matrizes:
  1. Para o elemento (1,1):
Isso implica que:
  1. Para o elemento (1,2):
Isso já está satisfeito.
  1. Para o elemento (2,1):
Também satisfeito.
  1. Para o elemento (2,2):
Somando em ambos os lados:
Somando 1 em ambos os lados:

Resposta

Os valores que fazem a matriz ser antissimétrica são e .

Exercícios relacionados

Resolva os sistemas pela regra de Cramer:
b)
Calcular o valor de de modo que seja ângulo entre os vetores .
Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (e) Se é uma matriz quadrada de ordem tal que , então .
Seja o triângulo de vértices e . Calcular o comprimento da mediana do triângulo relativa ao lado .