Seja . Determine os valores de x e y a fim de que a matriz B=(ccx & 2 -2 & 3 y-1) seja antissimétrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes aqui: a matriz e a matriz . A tarefa é encontrar os valores de e de modo que a matriz seja antissimétrica. Antissimétrica, nesse caso, significa que a matriz é igual ao seu negativo transposto. Vamos precisar lembrar das propriedades de matrizes antissimétricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser antissimétrica. Uma matriz M^T = -M é antissimétrica se, ao transpor (ou seja, trocar suas linhas por colunas) e multiplicar por , ela continua a mesma matriz. Matematicamente, isso é escrito como:
Isso implica que os elementos na diagonal principal de uma matriz antissimétrica devem ser zero, já que cada elemento é igual ao seu negativo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à matriz B = x & 2 -2 & 3y - 1 :
B^T = x & -2 2 & 3y - 1
Primeiro, vamos transpor B^T = -B :
x & -2 2 & 3y - 1 = - x & -2 2 & - (3y - 1)
De acordo com a propriedade da antissimetria:
Então:
Passo 4
Agora, vamos igualar os elementos correspondentes das duas matrizes:
Para o elemento (1,1):
x = -x
Isso implica que:
2x = 0 Rightarrow x = 0
Para o elemento (1,2):
-2 = -2
Isso já está satisfeito.
Para o elemento (2,1):
2 = 2
Também satisfeito.
Para o elemento (2,2):
3y - 1 = - (3y - 1) Rightarrow 3y - 1 = -3y + 1
Somando 6y - 1 = 1 em ambos os lados:
6y = 2 Rightarrow y = 26 = 13
Somando 1 em ambos os lados:
Resposta
Os valores que fazem a matriz ser antissimétrica são e .