Calcular o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas:
r:lx=-1 y=3 s: y=4 x-m z= & x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o valor de para que as retas e sejam coplanares. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a coplanaridade de retas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos usar vetores diretores das retas e verificar uma condição de coplanaridade utilizando produtos vetoriais.

Passo 2

Vamos começar parametrizando as retas dadas.
Para a reta r: x = -1 y = 3 z = t :
r(t) = (-1, 3, t)
onde dr = (0, 0, 1) é o parâmetro. Portanto, podemos escrever a reta s: y = 4x - m z = x na forma vetorial:
s(s) = (s, 4s - m, s)
O vetor diretor da reta ds = (1, 4, 1) é:
Para a reta :
Vamos usar como parâmetro. Assim, temos:
O vetor diretor da reta é:

Passo 3

Para que as retas PQ = Q - P = (0 - (-1), -m - 3, 0 - 0) = (1, -m - 3, 0) e sejam coplanares, devemos verificar se os vetores diretores e são lineares e se o vetor que liga um ponto de a um ponto de está no mesmo plano definido por esses vetores.
Vamos escolher um ponto em e outro em :
  • Ponto em : (quando )
  • Ponto em : (quando )
O vetor que liga a é:

Passo 4

Agora, utilizamos o produto misto para verificar a coplanaridade. O produto misto de três vetores a cdot (b times c) , dr times ds = i & j & k 0 & 0 & 1 1 & 4 & 1 = i(0 cdot 1 - 1 cdot 4) - j(0 cdot 1 - 1 cdot 1) + k(0 cdot 4 - 0 cdot 1) = (-4, 1, 0) , e PQ cdot (dr times ds) = (1)(-4) + (-m - 3)(1) + (0)(0) = -4 - m - 3 = -m - 7 é dado por:
Se o produto misto for zero, os vetores são coplanares.
Aplicando isso aos vetores , , e :
Agora, calculamos o produto escalar com :

Passo 5

Para que as retas sejam coplanares, o produto misto deve ser igual a zero:
-m - 7 = 0
Resolvendo para -m = 7 m = -7 :

Resposta

O valor de que torna as retas e coplanares é .

Exercícios relacionados