Calcular o valor de para que sejam coplanares as seguintes retas:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o valor de para que as retas e sejam coplanares. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a coplanaridade de retas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos usar vetores diretores das retas e verificar uma condição de coplanaridade utilizando produtos vetoriais.

Passo 2

Vamos começar parametrizando as retas dadas.
Para a reta :
onde é o parâmetro. Portanto, podemos escrever a reta na forma vetorial:
O vetor diretor da reta é:
Para a reta :
Vamos usar como parâmetro. Assim, temos:
O vetor diretor da reta é:

Passo 3

Para que as retas e sejam coplanares, devemos verificar se os vetores diretores e são lineares e se o vetor que liga um ponto de a um ponto de está no mesmo plano definido por esses vetores.
Vamos escolher um ponto em e outro em :
  • Ponto em : (quando )
  • Ponto em : (quando )
O vetor que liga a é:

Passo 4

Agora, utilizamos o produto misto para verificar a coplanaridade. O produto misto de três vetores , , e é dado por:
Se o produto misto for zero, os vetores são coplanares.
Aplicando isso aos vetores , , e :
Agora, calculamos o produto escalar com :

Passo 5

Para que as retas sejam coplanares, o produto misto deve ser igual a zero:
Resolvendo para :

Resposta

O valor de que torna as retas e coplanares é .

Exercícios relacionados

Sabendo que a matriz resultante das operações a seguir é simétrica, determine os valores de e .
DICA: Lembre que uma matriz é dita simétrica se .
Determine a reta que é perpendicular às retas
Dados e , determine a distância entre o plano
e a esfera
Determine e de modo que se tenha .