Calcular o valor de para que sejam coplanares as seguintes retas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o valor de para que as retas e sejam coplanares. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a coplanaridade de retas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos usar vetores diretores das retas e verificar uma condição de coplanaridade utilizando produtos vetoriais.
Passo 2
Vamos começar parametrizando as retas dadas.
Para a reta :
onde é o parâmetro. Portanto, podemos escrever a reta na forma vetorial:
O vetor diretor da reta é:
Para a reta :
Vamos usar como parâmetro. Assim, temos:
O vetor diretor da reta é:
Passo 3
Para que as retas e sejam coplanares, devemos verificar se os vetores diretores e são lineares e se o vetor que liga um ponto de a um ponto de está no mesmo plano definido por esses vetores.
Vamos escolher um ponto em e outro em :
Ponto em : (quando )
Ponto em : (quando )
O vetor que liga a é:
Passo 4
Agora, utilizamos o produto misto para verificar a coplanaridade. O produto misto de três vetores , , e é dado por:
Se o produto misto for zero, os vetores são coplanares.
Aplicando isso aos vetores , , e :
Agora, calculamos o produto escalar com :
Passo 5
Para que as retas sejam coplanares, o produto misto deve ser igual a zero: