Determine a reta R^prime prime subset E^3 que é perpendicular às retas
R & =(5,6,-3)+t(1,1,-1) ; t in R R^prime & =(5,-1,-4)+s(1,-1,-3) ; s in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar uma reta no espaço tridimensional ( ) que seja perpendicular às retas e dadas. Para isso, vamos precisar conhecer vetores diretores das retas e entender como encontrar uma reta perpendicular a duas linhas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas R = (5,6,-3) + t(1,1,-1) ; t in R e R^prime = (5,-1,-4) + s(1,-1,-3) ; s in R . A forma geral de uma reta no espaço é , onde é um ponto na reta e é o vetor diretor.
Para a reta :
Aqui, o vetor diretor é .
Para a reta :
Aqui, o vetor diretor é .

Passo 3

Agora, para encontrar uma reta d^prime prime cdot d = 0 e d^prime prime cdot d^prime = 0 que seja perpendicular a ambas as retas e , precisamos que o vetor diretor dessa nova reta seja perpendicular aos vetores diretores e .
Matematicamente, isso significa que o vetor diretor de deve satisfazer:
Onde representa o produto escalar.

Passo 4

Uma maneira eficiente de encontrar um vetor que seja perpendicular a dois vetores dados é usar o produto vetorial. O produto vetorial de d times d^prime = i & j & k 1 & 1 & -1 1 & -1 & -3 e = i(1 cdot (-3) - (-1) cdot (-1)) - j(1 cdot (-3) - (-1) cdot 1) + k(1 cdot (-1) - 1 cdot 1) nos dará um vetor que é perpendicular a ambos.
Vamos calcular = i(-3 - 1) - j(-3 - (-1)) + k(-1 -1) :
= -4i + 2j - 2k
Calculando o determinante:
Então, o vetor é perpendicular a e .

Passo 5

Agora que temos o vetor diretor da reta (p^prime prime - (5,6,-3)) cdot (1,1,-1) = 0 , precisamos encontrar um ponto que pertence a essa reta. Uma forma de fazer isso é encontrar o ponto de interseção da reta (p^prime prime - (5,-1,-4)) cdot (1,-1,-3) = 0 com o parâmetro de alguma das retas originais, ou resolver um sistema que garanta que seja perpendicular a ambas.
Vamos usar a condição de perpendicularidade para encontrar as coordenadas desse ponto. Seja um ponto na reta .
A condição de perpendicularidade implica que o vetor deve ser perpendicular a , e deve ser perpendicular a .
Isso nos resulta nos seguintes sistemas de equações:

Passo 6

Vamos escrever essas equações com as coordenadas:
Primeira equa�o:
(x - 5)(1) + (y - 6)(1) + (z + 3)(-1) = 0
Simplificando:
x - 5 + y - 6 - z - 3 = 0 implies x + y - z - 14 = 0 (1)
Segunda equação:
(x - 5)(1) + (y + 1)(-1) + (z + 4)(-3) = 0
Simplificando:
x - 5 - y - 1 - 3z - 12 = 0 implies x - y - 3z - 18 = 0 (2)

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
x + y - z = 14 (1) x - y - 3z = 18 (2)
Podemos resolver esse sistema para expressar duas variáveis em função da terceira. Vamos resolver adicionando as duas equações para eliminar (x + y - z) + (x - y - 3z) = 14 + 18 :
2x - 4z = 32 implies x - 2z = 16 implies x = 2z + 16 (3)
(2z + 16) + y - z = 14 implies y + z + 16 = 14 implies y + z = -2 implies y = -z - 2 (4)
Agora, substituímos na equação (1):

Passo 8

Com as expressões encontradas, podemos expressar o vetor posição p^prime prime = (2z + 16, -z - 2, z) em termos de R^prime prime = (16, -2, 0) + t(2, -1, 1) ; t in R :
Agora, vamos parametrizar a reta usando o parâmetro :
Aqui, o ponto inicial é e o vetor diretor é .

Resposta

A reta R^prime prime = , (16, -2, 0) + t, (2, -1, 1) ; t in R , perpendicular às retas e é dada por

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