Determine a reta que é perpendicular às retas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar uma reta no espaço tridimensional ( ) que seja perpendicular às retas e dadas. Para isso, vamos precisar conhecer vetores diretores das retas e entender como encontrar uma reta perpendicular a duas linhas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . A forma geral de uma reta no espaço é , onde é um ponto na reta e é o vetor diretor.
Para a reta :
Aqui, o vetor diretor é .
Para a reta :
Aqui, o vetor diretor é .

Passo 3

Agora, para encontrar uma reta que seja perpendicular a ambas as retas e , precisamos que o vetor diretor dessa nova reta seja perpendicular aos vetores diretores e .
Matematicamente, isso significa que o vetor diretor de deve satisfazer:
Onde representa o produto escalar.

Passo 4

Uma maneira eficiente de encontrar um vetor que seja perpendicular a dois vetores dados é usar o produto vetorial. O produto vetorial de e nos dará um vetor que é perpendicular a ambos.
Vamos calcular :
Calculando o determinante:
Então, o vetor é perpendicular a e .

Passo 5

Agora que temos o vetor diretor da reta , precisamos encontrar um ponto que pertence a essa reta. Uma forma de fazer isso é encontrar o ponto de interseção da reta com o parâmetro de alguma das retas originais, ou resolver um sistema que garanta que seja perpendicular a ambas.
Vamos usar a condição de perpendicularidade para encontrar as coordenadas desse ponto. Seja um ponto na reta .
A condição de perpendicularidade implica que o vetor deve ser perpendicular a , e deve ser perpendicular a .
Isso nos resulta nos seguintes sistemas de equações:

Passo 6

Vamos escrever essas equações com as coordenadas:
Primeira equa�o:
Simplificando:
Segunda equação:
Simplificando:

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
Podemos resolver esse sistema para expressar duas variáveis em função da terceira. Vamos resolver adicionando as duas equações para eliminar :
Agora, substituímos na equação (1):

Passo 8

Com as expressões encontradas, podemos expressar o vetor posição em termos de :
Agora, vamos parametrizar a reta usando o parâmetro :
Aqui, o ponto inicial é e o vetor diretor é .

Resposta

A reta perpendicular às retas e é dada por

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