Sabendo que a matriz resultante das operações a seguir é simétrica, determine os valores de e .
DICA: Lembre que uma matriz é dita simétrica se .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar os valores de , e de forma que a matriz resultante das operações dadas seja simétrica. Para isso, a gente vai usar o conceito de matriz simétrica, que é quando uma matriz é igual à sua transposta, ou seja, . Vamos precisar somar as duas matrizes dadas e depois igualar à sua transposta para encontrar os valores desconhecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos somar as duas matrizes. Vamos chamar a primeira matriz de e a segunda de :
Agora, somamos :
Passo 3
Agora, para ser simétrica, ela precisa ser igual à sua transposta . A transposta de troca as linhas pelas colunas:
Então, igualamos e :
Passo 4
Agora, vamos igualar os elementos correspondentes das duas matrizes:
Vamos resolver essas equações uma a uma.
Passo 5
Primeiro, da segunda equação:
Subtraindo de ambos os lados:
Passo 6
Agora, com , vamos usar a quarta equação:
Vamos deixar essa como Equação (a):
Passo 7
Da primeira equação:
Vamos chamar essa de Equação (b):
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Passo 8
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação (b) por 3 para facilitar: