Sabendo que a matriz S resultante das operações a seguir é simétrica, determine os valores de x, y e z.
[ccc 1 & x & z 0 & 1 & 1 3 z & 3 x-y & -2 ]+2[ccc 0 & y & -2 2 & 2 & 2 3 & 0 & 1 ]
DICA: Lembre que uma matriz é dita simétrica se S=S^t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar os valores de , e de forma que a matriz resultante das operações dadas seja simétrica. Para isso, a gente vai usar o conceito de matriz simétrica, que é quando uma matriz é igual à sua transposta, ou seja, . Vamos precisar somar as duas matrizes dadas e depois igualar à sua transposta para encontrar os valores desconhecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos somar as duas matrizes. Vamos chamar a primeira matriz de A = 1 & x & z 0 & 1 & 1 3z & 3x - y & -2 , B = 2 times 0 & y & -2 2 & 2 & 2 3 & 0 & 1 = 0 & 2y & -4 4 & 4 & 4 6 & 0 & 2 e a segunda de S = A + B = 1 + 0 & x + 2y & z - 4 0 + 4 & 1 + 4 & 1 + 4 3z + 6 & 3x - y + 0 & -2 + 2 = 1 & x + 2y & z - 4 4 & 5 & 5 3z + 6 & 3x - y & 0 :
Agora, somamos :

Passo 3

Agora, para S^t = 1 & 4 & 3z + 6 x + 2y & 5 & 3x - y z - 4 & 5 & 0 ser simétrica, ela precisa ser igual à sua transposta 1 & x + 2y & z - 4 4 & 5 & 5 3z + 6 & 3x - y & 0 = 1 & 4 & 3z + 6 x + 2y & 5 & 3x - y z - 4 & 5 & 0 . A transposta de troca as linhas pelas colunas:
Então, igualamos e :

Passo 4

Agora, vamos igualar os elementos correspondentes das duas matrizes:
Vamos resolver essas equações uma a uma.

Passo 5

Primeiro, da segunda equação: -4 = 2z + 6 -10 = 2z z = -5
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

Agora, com 3x - y = 5 (a) , vamos usar a quarta equação:
Vamos deixar essa como Equação (a):

Passo 7

Da primeira equação: x + 2y = 4 (b)
Vamos chamar essa de Equação (b):
3x - y = 5 (a) x + 2y = 4 (b)
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:

Passo 8

Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação (b) por 3 para facilitar:
3(x + 2y) = 3 times 4 3x + 6y = 12 (c)
Agora, subtraímos a Equação (a) da Equação ©:
(3x + 6y) - (3x - y) = 12 - 5 7y = 7 y = 1

Passo 9

Com x + 2(1) = 4 x + 2 = 4 x = 2 , substituímos na Equação (b):

Resposta

Os valores que satisfazem a matriz simétrica são:
x = 2, y = 1, z = -5

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