Dados d in R e r in R^+-0, determine a distância entre o plano
e a esfera
c Pi=(x, y, z) in R^3 ; x+y+z=d S=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2+z^2-2 z+1=r^2

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um plano definido pela equação e uma esfera definida por . Queremos encontrar a distância entre esse plano e essa esfera. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre pontos e planos, além de identificar o centro e o raio da esfera.

Passo 2

Vamos começar identificando o centro e o raio da esfera x^2 + y^2 + z^2 - 2z + 1 = r^2 . A equação da esfera está na forma padrão, mas precisamos completá-la para ter certeza. A equação dada é:
z^2 - 2z = (z - 1)^2 - 1
Vamos completar o quadrado para o termo x^2 + y^2 + (z - 1)^2 - 1 + 1 = r^2 :
x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = r^2
Substituindo de volta na equação da esfera:
Simplificando:
Então, o centro da esfera é e o raio é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre o centro da esfera e o plano D = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 . A fórmula para a distância x + y + z - d = 0 de um ponto a um plano é:
Primeiro, precisamos reescrever a equação do plano na forma :
Aqui, , , e .

Passo 4

Substituindo os valores do centro da esfera D = |1 cdot 0 + 1 cdot 0 + 1 cdot 1 - d|raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = |1 - d|raiz3 na fórmula da distância:
Então, a distância entre o centro da esfera e o plano é .

Passo 5

Para encontrar a distância entre o plano e a esfera, precisamos considerar o raio da esfera. Se a distância do centro ao plano for maior que o raio, a distância entre o plano e a esfera será essa distância menos o raio. Se for menor que o raio, o plano corta a esfera e a distância é zero.
Portanto, a distância Desfera = |1 - d|raiz3 - r entre o plano e a esfera é:

Resposta

A distância entre o plano e a esfera é .

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