Dados
e
, determine a distância entre o plano
e a esfera
e a esfera
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um plano
definido pela equação
e uma esfera
definida por
. Queremos encontrar a distância entre esse plano e essa esfera. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre pontos e planos, além de identificar o centro e o raio da esfera.
Passo 2
Vamos começar identificando o centro e o raio da esfera
. A equação da esfera está na forma padrão, mas precisamos completá-la para ter certeza. A equação dada é:
Vamos completar o quadrado para o termo
:
Substituindo de volta na equação da esfera:
Simplificando:
Então, o centro da esfera
é
e o raio é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre o centro da esfera e o plano
. A fórmula para a distância
de um ponto
a um plano
é:
Primeiro, precisamos reescrever a equação do plano
na forma
:
Aqui,
,
,
e
.
Passo 4
Substituindo os valores do centro da esfera
na fórmula da distância:
Então, a distância entre o centro da esfera e o plano é
.
Passo 5
Para encontrar a distância entre o plano e a esfera, precisamos considerar o raio da esfera. Se a distância do centro ao plano for maior que o raio, a distância entre o plano e a esfera será essa distância menos o raio. Se for menor que o raio, o plano corta a esfera e a distância é zero.
Portanto, a distância
entre o plano e a esfera é:
Resposta
A distância entre o plano
e a esfera
é
.