Seja V o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a um. Mostre que a relação abaixo é um produto interno.
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma certa relação é um produto interno no espaço vetorial
dos polinômios de grau no máximo 1 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades que definem um produto interno e verificar se a relação dada as satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno precisa satisfazer três propriedades principais:
- Positividade:
para todo em , e se e somente se . - Simetria:
para todos em . - Linearidade:
para quaisquer escalares e vetores em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação dada:
Passo 3
1. Positividade
Vamos calcular
:
Como
e
são sempre positivos ou zero, e
pode ser negativo, mas o termo
garante que a soma seja sempre positiva a menos que
e
. Portanto,
e só é zero quando
.
Passo 4
2. Simetria
Vamos verificar se
:
Observando que
,
,
e
, vemos que as duas expressões são iguais. Portanto, a simetria está satisfeita.
Passo 5
3. Linearidade
Vamos verificar a linearidade na primeira variável. Seja
,
e
. Queremos ver se:
Calculando:
Distribuindo:
Separando:
Isso confirma que a linearidade está satisfeita.
Resposta
Sim, a relação dada é um produto interno no espaço
.
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, então
.
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e
.
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de modo que o ângulo entre os vetores
e
seja
.