Seja V o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a um. Mostre que a relação abaixo é um produto interno.
lang<= a+b x, c+d xrang<==a c+a d2+b c2+b d3

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma certa relação é um produto interno no espaço vetorial dos polinômios de grau no máximo 1 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades que definem um produto interno e verificar se a relação dada as satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno precisa satisfazer três propriedades principais:
  1. Positividade: lang<= a + b x, c + d x rang<= = a c + a d2 + b c2 + b d3 para todo em , e se e somente se .
  2. Simetria: para todos em .
  3. Linearidade: para quaisquer escalares e vetores em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação dada:

Passo 3

1. Positividade
Vamos calcular lang<= a + b x, a + b x rang<= = a^2 + a b2 + b a2 + b^23 = a^2 + a b + b^23 :
Como e são sempre positivos ou zero, e pode ser negativo, mas o termo garante que a soma seja sempre positiva a menos que e . Portanto, e só é zero quando .

Passo 4

2. Simetria
Vamos verificar se lang<= a + b x, c + d x rang<= = a c + a d2 + b c2 + b d3 :
lang<= c + d x, a + b x rang<= = c a + c b2 + d a2 + d b3
Observando que , , e , vemos que as duas expressões são iguais. Portanto, a simetria está satisfeita.

Passo 5

3. Linearidade
Vamos verificar a linearidade na primeira variável. Seja lang<= u + w, v rang<= = lang<= u, v rang<= + lang<= w, v rang<= , lang<= (a + e) + (b + f) x, c + d x rang<= = (a + e)c + (a + e)d2 + (b + f)c2 + (b + f)d3 e = a c + e c + a d2 + e d2 + b c2 + f c2 + b d3 + f d3 . Queremos ver se:
= (a c + a d2 + b c2 + b d3) + (e c + e d2 + f c2 + f d3) = lang<= u, v rang<= + lang<= w, v rang<=
Calculando:
Distribuindo:
Separando:
Isso confirma que a linearidade está satisfeita.

Resposta

Sim, a relação dada é um produto interno no espaço .

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