Calcular o valor de para que seja de 60 o ângulo que a reta
forma com o eixo dos .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o valor de de forma que a reta definida pelas equações
forme um ângulo de com o eixo dos . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente o cálculo do ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o vetor diretor da reta. A reta está parametrizada em relação a , então podemos associar um vetor direção às variações de , e .
Dado que:
Portanto, o vetor diretor da reta é:
Passo 3
Agora, vamos considerar o vetor que representa o eixo dos , que é:
Queremos que o ângulo entre e seja de . Para isso, utilizamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Onde:
é o produto escalar dos vetores,
e são as magnitudes dos vetores.
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula:
Produto escalar:
Magnitudes:
Substituindo na fórmula do cosseno:
Sabemos que , então:
Agora, vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
Rearranjando os termos:
Resposta
O valor de que faz com que a reta forme um ângulo de com o eixo dos é aproximadamente 1,291.