Calcular o valor de para que seja de 60 o ângulo que a reta
forma com o eixo dos .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o valor de de forma que a reta definida pelas equações
forme um ângulo de com o eixo dos . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente o cálculo do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o vetor diretor da reta. A reta está parametrizada em relação a , então podemos associar um vetor direção às variações de , e .
Dado que:
Portanto, o vetor diretor da reta é:

Passo 3

Agora, vamos considerar o vetor que representa o eixo dos , que é:
Queremos que o ângulo entre e seja de . Para isso, utilizamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores,
  • e são as magnitudes dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Produto escalar:
  1. Magnitudes:
Substituindo na fórmula do cosseno:
Sabemos que , então:
Agora, vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
Rearranjando os termos:

Resposta

O valor de que faz com que a reta forme um ângulo de com o eixo dos é aproximadamente 1,291.

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R. 4