Calcular o valor de n para que seja de 60 o ângulo que a reta
r:l y=n x+5 z=2 x-3
forma com o eixo dos y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o valor de y = n x + 5 z = 2 x - 3 de forma que a reta definida pelas equações
forme um ângulo de com o eixo dos . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente o cálculo do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o vetor diretor da reta. A reta está parametrizada em relação a y = n x + 5 Rightarrow dydx = n , então podemos associar um vetor direção às variações de z = 2 x - 3 Rightarrow dzdx = 2 , v = 1 n 2 e .
Dado que:
Portanto, o vetor diretor da reta é:

Passo 3

Agora, vamos considerar o vetor que representa o eixo dos w = 0 1 0 , que é:
cos(theta) = v cdot w||v|| cdot ||w||
Queremos que o ângulo entre e seja de . Para isso, utilizamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores,
  • e são as magnitudes dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Produto escalar:
v cdot w = (1)(0) + (n)(1) + (2)(0) = n
  1. Magnitudes:
||v|| = raiz1^2 + n^2 + 2^2 = raizn^2 + 5
||w|| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = 1
Substituindo na fórmula do cosseno:
cos(60^circ) = nraizn^2 + 5
Sabemos que 0,5 = nraizn^2 + 5 , então:
0,5 raizn^2 + 5 = n
Agora, vamos resolver para (0,5)^2 (n^2 + 5) = n^2 :
Multiplicando ambos os lados por 0,25n^2 + 1,25 = n^2 :
n^2 - 0,25n^2 = 1,25
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
0,75n^2 = 1,25
n^2 = 1,250,75 = 53
Rearranjando os termos:
n = raiz53 approx 1,291

Resposta

O valor de que faz com que a reta forme um ângulo de com o eixo dos é aproximadamente 1,291.

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