Estabelecer as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção das retas e é, ao mesmo tempo, ortogonal a e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto onde as retas e se cruzam, e que é perpendicular a ambas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas no espaço e vetores. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto de interseção das retas e . Isso significa encontrar um ponto que está nas duas retas ao mesmo tempo. A reta está dada por: Podemos parametrizar usando um parâmetro : A reta está definida pelas equações: Vamos parametrizar usando o parâmetro . Chamando , então: Agora, para encontrar o ponto de interseção, igualamos as coordenadas de e : Vamos resolver essas equações para encontrar e .

Passo 3

A partir da equação (2), temos: Vamos substituir na equação (1): Agora, substituindo na equação para : E substituindo na equação para : Então, o ponto de interseção é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a direção da reta que será ortogonal a e . Para isso, vamos determinar os vetores diretores de e . O vetor diretor de vem dos coeficientes das equações parametrizadas: Para a reta , observando as equações: Podemos parametrizar em : Então, o vetor diretor de é: Para encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos e , usamos o produto vetorial .

Passo 5

Calculando o produto vetorial: Esse será o vetor diretor da nossa reta ortogonal.

Passo 6

Agora, já temos o ponto de passagem e o vetor diretor . Podemos escrever as equações paramétricas da reta desejada usando a fórmula: Onde é o ponto de passagem e são as componentes do vetor diretor. Substituindo:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:

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