Estabelecer as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção das retas
e é, ao mesmo tempo, ortogonal a e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto onde as retas e se cruzam, e que é perpendicular a ambas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas no espaço e vetores. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos achar o ponto de interseção das retas e . Isso significa encontrar um ponto que está nas duas retas ao mesmo tempo.
A reta está dada por:
Podemos parametrizar usando um parâmetro :
A reta está definida pelas equações:
Vamos parametrizar usando o parâmetro . Chamando , então:
Agora, para encontrar o ponto de interseção, igualamos as coordenadas de e :
Vamos resolver essas equações para encontrar e .
Passo 3
A partir da equação (2), temos:
Vamos substituir na equação (1):
Agora, substituindo na equação para :
E substituindo na equação para :
Então, o ponto de interseção é .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a direção da reta que será ortogonal a e . Para isso, vamos determinar os vetores diretores de e .
O vetor diretor de vem dos coeficientes das equações parametrizadas:
Para a reta , observando as equações:
Podemos parametrizar em :
Então, o vetor diretor de é:
Para encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos e , usamos o produto vetorial .
Passo 5
Calculando o produto vetorial:
Esse será o vetor diretor da nossa reta ortogonal.
Passo 6
Agora, já temos o ponto de passagem e o vetor diretor . Podemos escrever as equações paramétricas da reta desejada usando a fórmula:
Onde é o ponto de passagem e são as componentes do vetor diretor.
Substituindo: