Estabelecer as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção das retas
r: x-22=y+14=z6 e s:l x=1-y z=2+2 y
e é, ao mesmo tempo, ortogonal a r e s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto onde as retas e se cruzam, e que é perpendicular a ambas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas no espaço e vetores. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto de interseção das retas x - 22 = y + 14 = z6 e x = 2 + 2t y = -1 + 4t z = 6t . Isso significa encontrar um ponto x = 1 - y z = 2 + 2y que está nas duas retas ao mesmo tempo.
A reta x = 1 - y z = 2 + 2y está dada por:
2 + 2t = 1 - y (1) -1 + 4t = y (2) 6t = 2 + 2y (3)
Podemos parametrizar usando um parâmetro :
A reta está definida pelas equações:
Vamos parametrizar usando o parâmetro . Chamando , então:
Agora, para encontrar o ponto de interseção, igualamos as coordenadas de e :
Vamos resolver essas equações para encontrar e .

Passo 3

A partir da equação (2), temos:
y = -1 + 4t
Vamos substituir 2 + 2t = 1 - (-1 + 4t) 2 + 2t = 1 + 1 - 4t 2 + 2t = 2 - 4t 6t = 0 t = 0 na equação (1):
y = -1 + 4(0) = -1
Agora, substituindo z = 6(0) = 0 na equação para :
E substituindo na equação para :
Então, o ponto de interseção é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a direção da reta que será ortogonal a vr = 2 4 6 e x = 1 - y z = 2 + 2y . Para isso, vamos determinar os vetores diretores de y = y x = 1 - y z = 2 + 2y e vs = -1 1 2 .
O vetor diretor de vem dos coeficientes das equações parametrizadas:
Para a reta , observando as equações:
Podemos parametrizar em :
Então, o vetor diretor de é:
Para encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos e , usamos o produto vetorial .

Passo 5

Calculando o produto vetorial:
v = vr times vs = i & j & k 2 & 4 & 6 -1 & 1 & 2
v = i(4 cdot 2 - 6 cdot 1) - j(2 cdot 2 - 6 cdot (-1)) + k(2 cdot 1 - 4 cdot (-1)) v = i(8 - 6) - j(4 + 6) + k(2 + 4) v = i(2) - j(10) + k(6) v = 2 -10 6
Esse será o vetor diretor da nossa reta ortogonal.

Passo 6

Agora, já temos o ponto de passagem 2 -10 6 e o vetor diretor x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t . Podemos escrever as equações paramétricas da reta desejada usando a fórmula:
x = 2 + 2t y = -1 -10t z = 0 + 6t
Onde é o ponto de passagem e são as componentes do vetor diretor.
Substituindo:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 2 + 2t y = -1 - 10t z = 6t com t in R

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