Encontrar a equação do plano que contém o ponto e é perpendicular aos planos

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que é perpendicular a dois outros planos dados:
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cada plano tem um vetor normal, que é um vetor perpendicular ao plano. Nas equações dos planos, os coeficientes de , e correspondem às componentes desse vetor normal.
Então, para o plano :
E para o plano :

Passo 3

Como o plano que queremos encontrar é perpendicular a ambos os planos e , o vetor normal desse novo plano precisa ser perpendicular aos vetores normais e .
Para achar um vetor que seja perpendicular a dois vetores dados, a gente pode usar o produto vetorial. O produto vetorial de e vai nos dar o vetor normal do nosso plano procurado.
Vamos calcular:

Passo 4

Calculando o produto vetorial:

Passo 5

Agora que temos o vetor normal do nosso plano , podemos usar a equação geral de um plano que passa por um ponto e tem vetor normal :
Substituindo , , e :

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:

Resposta

A equação do plano é:

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Dado o ponto e sabendo que , o ponto médio do segmento AC é igual a , calcule:
b) Calcule o perímetro do paralelogramo .
Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições. Justifique sua resposta!
Seja uma matriz quadrada de ordem . Se é inversível então é um autovalor de A.
Sejam e um subespaço vetorial de gerado pelos vetores do conjunto . Determine:
b) e uma base para W.
Calcular o valor de para que seja de 60 o ângulo que a reta
forma com o eixo dos .