Encontrar a equação do plano que contém o ponto e é perpendicular aos planos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que é perpendicular a dois outros planos dados:
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que cada plano tem um vetor normal, que é um vetor perpendicular ao plano. Nas equações dos planos, os coeficientes de , e correspondem às componentes desse vetor normal.
Então, para o plano :
E para o plano :
Passo 3
Como o plano que queremos encontrar é perpendicular a ambos os planos e , o vetor normal desse novo plano precisa ser perpendicular aos vetores normais e .
Para achar um vetor que seja perpendicular a dois vetores dados, a gente pode usar o produto vetorial. O produto vetorial de e vai nos dar o vetor normal do nosso plano procurado.
Vamos calcular:
Passo 4
Calculando o produto vetorial:
Passo 5
Agora que temos o vetor normal do nosso plano , podemos usar a equação geral de um plano que passa por um ponto e tem vetor normal :