Encontrar a equação do plano que contém o ponto A(2,3,1) e é perpendicular aos planos
pi1: 2 x-y-4 z-6=0 e pi2: x+y+2 z-3=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto pi1: 2x - y - 4z - 6 = 0 e pi2: x + y + 2z - 3 = 0 e que é perpendicular a dois outros planos dados:
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cada plano tem um vetor normal, que é um vetor perpendicular ao plano. Nas equações dos planos, os coeficientes de Vetor normal de pi1 = n1 = (2, -1, -4) , Vetor normal de pi2 = n2 = (1, 1, 2) e correspondem às componentes desse vetor normal.
Então, para o plano :
E para o plano :

Passo 3

Como o plano que queremos encontrar é perpendicular a ambos os planos n = n1 times n2 e , o vetor normal desse novo plano precisa ser perpendicular aos vetores normais e .
Para achar um vetor que seja perpendicular a dois vetores dados, a gente pode usar o produto vetorial. O produto vetorial de e vai nos dar o vetor normal do nosso plano procurado.
Vamos calcular:

Passo 4

Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k 2 & -1 & -4 1 & 1 & 2
= i cdot [(-1)(2) - (-4)(1)] - j cdot [2(2) - (-4)(1)] + k cdot [2(1) - (-1)(1)]
= i cdot (-2 + 4) - j cdot (4 + 4) + k cdot (2 + 1)
= i cdot 2 - j cdot 8 + k cdot 3
n = (2, -8, 3)

Passo 5

Agora que temos o vetor normal do nosso plano a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 , podemos usar a equação geral de um plano que passa por um ponto 2(x - 2) -8(y - 3) + 3(z - 1) = 0 e tem vetor normal :
Substituindo , , e :

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
2x - 4 -8y + 24 + 3z - 3 = 0
2x -8y + 3z + 17 = 0

Resposta

A equação do plano é:
2x - 8y + 3z + 17 = 0

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