Sejam V=P3 e W um subespaço vetorial de V gerado pelos vetores do conjunto A=2 x, 1+x, 1+3 x, 1+x^3. Determine:
b) dim(W) e uma base para W.

Passo 1

Beleza! A gente tem que descobrir a dimensão do subespaço e encontrar uma base pra ele. A matéria aqui é sobre subespaços vetoriais e base de espaços vetoriais. Vamos precisar entender como verificar se os vetores que geram são independentes e como selecionar aqueles que formam uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar os vetores que geram A = 2x, 1 + x, 1 + 3x, 1 + x^3 . Eles são:
2x &= 0 + 2x + 0x^2 + 0x^3 Rightarrow (0, 2, 0, 0) 1 + x &= 1 + x + 0x^2 + 0x^3 Rightarrow (1, 1, 0, 0) 1 + 3x &= 1 + 3x + 0x^2 + 0x^3 Rightarrow (1, 3, 0, 0) 1 + x^3 &= 1 + 0x + 0x^2 + x^3 Rightarrow (1, 0, 0, 1)
Como está dentro de (ou seja, todos os polinômios de grau até 3), vamos representar cada polinômio como um vetor de coeficientes. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos organizar esses vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:
0 & 1 & 1 & 1 2 & 1 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Nosso próximo passo é ver qual o número máximo de colunas que são linearmente independentes. Isso nos vai dar a dimensão de .

Passo 4

Vamos fazer a eliminação de Gauss para encontrar o posto dessa matriz. Primeiro, trocamos a primeira e a segunda linha para facilitar:
2 & 1 & 3 & 0 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Agora, usamos o pivô da primeira linha (2) para zerar os elementos abaixo dele. Já está ok, porque os abaixo já são zero.
Seguimos para a segunda coluna. O pivô é 1 na segunda linha. Vamos zerar acima e abaixo, mas na verdade, só temos um elemento abaixo que já é zero.
A matriz já está na forma escalonada:
2 & 1 & 3 & 0 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1

Passo 5

O número de pivôs é igual ao número de colunas que têm um “1” líder após a redução, que aqui são:
  • Primeira coluna
  • Segunda coluna
  • Quarta coluna
Isso significa que temos 3 vetores linearmente independentes.

Passo 6

Então, a dimensão de 2x, 1 + x, 1 + x^3 é 3. Agora, para encontrar uma base, pegamos os vetores correspondentes às colunas com pivôs:
Esses três vetores são independentes e geram , formando assim uma base.

Resposta

A dimensão de é 3 e uma base para é .

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