Sejam e um subespaço vetorial de gerado pelos vetores do conjunto . Determine:
b) e uma base para W.
Passo 1
Beleza! A gente tem que descobrir a dimensão do subespaço e encontrar uma base pra ele. A matéria aqui é sobre subespaços vetoriais e base de espaços vetoriais. Vamos precisar entender como verificar se os vetores que geram são independentes e como selecionar aqueles que formam uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar os vetores que geram . Eles são:
Como está dentro de (ou seja, todos os polinômios de grau até 3), vamos representar cada polinômio como um vetor de coeficientes. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos organizar esses vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:
Nosso próximo passo é ver qual o número máximo de colunas que são linearmente independentes. Isso nos vai dar a dimensão de .
Passo 4
Vamos fazer a eliminação de Gauss para encontrar o posto dessa matriz. Primeiro, trocamos a primeira e a segunda linha para facilitar:
Agora, usamos o pivô da primeira linha (2) para zerar os elementos abaixo dele. Já está ok, porque os abaixo já são zero.
Seguimos para a segunda coluna. O pivô é 1 na segunda linha. Vamos zerar acima e abaixo, mas na verdade, só temos um elemento abaixo que já é zero.
A matriz já está na forma escalonada:
Passo 5
O número de pivôs é igual ao número de colunas que têm um “1” líder após a redução, que aqui são:
Primeira coluna
Segunda coluna
Quarta coluna
Isso significa que temos 3 vetores linearmente independentes.
Passo 6
Então, a dimensão de é 3. Agora, para encontrar uma base, pegamos os vetores correspondentes às colunas com pivôs:
Esses três vetores são independentes e geram , formando assim uma base.