Sejam e um subespaço vetorial de gerado pelos vetores do conjunto . Determine:
b) e uma base para W.
Passo 1
Beleza! A gente tem que descobrir a dimensão do subespaço e encontrar uma base pra ele. A matéria aqui é sobre subespaços vetoriais e base de espaços vetoriais. Vamos precisar entender como verificar se os vetores que geram são independentes e como selecionar aqueles que formam uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar os vetores que geram . Eles são:
Como está dentro de (ou seja, todos os polinômios de grau até 3), vamos representar cada polinômio como um vetor de coeficientes. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos organizar esses vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:
Nosso próximo passo é ver qual o número máximo de colunas que são linearmente independentes. Isso nos vai dar a dimensão de .
Passo 4
Vamos fazer a eliminação de Gauss para encontrar o posto dessa matriz. Primeiro, trocamos a primeira e a segunda linha para facilitar: