Numa página danificada de um texto antigo se encontra a matriz e produto , mas desta última matriz apenas a última coluna pode ser lida. Encontre .
R. 4

Passo 1

Então, a gente tem um problema envolvendo matrizes. O enunciado nos dá uma matriz com algumas incógnitas , e , e também uma outra matriz que resulta do produto vezes a transposta de , ou seja, . Só que nessa segunda matriz, a gente só consegue ver a última coluna. A missão aqui é descobrir o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de , denotada por , é simplesmente a matriz “girando” seus elementos de forma que as linhas viram colunas e vice-versa. Então, se é:
Então, será:

Passo 3

Agora, precisamos calcular , que significa multiplicada por ela mesma. Vamos fazer essa multiplicação passo a passo. Multiplicar matrizes envolve multiplicar as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda.
Fazendo a multiplicação, obtemos:
Simplificando, fica:

Passo 4

Agora que temos e , vamos multiplicar por :
Vamos multiplicar as linhas de pelas colunas de :
  • Primeira linha:
    • Primeiro elemento:
    • Segundo elemento:
    • Terceiro elemento:
  • Segunda linha:
    • Primeiro elemento:
    • Segundo elemento:
    • Terceiro elemento:
  • Terceira linha:
    • Primeiro elemento:
    • Segundo elemento:
    • Terceiro elemento:
Então, fica:

Passo 5

No enunciado, a gente só consegue ver a última coluna dessa matriz resultante:
Comparando com o que obtivemos:
A última coluna nos dá as seguintes equações:

Passo 6

Vamos resolver essas equações para encontrar , e .
Primeiro, da terceira equação:
Agora que sabemos que , vamos para a segunda equação:
Por último, com e , substituímos na primeira equação:

Resposta

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