Numa página danificada de um texto antigo se encontra a matriz A=[lll1 & x & 0 0 & 0 & y 0 & 0 & z] e circ produto A^2 A^t= [llr* & * & -6 * & * & 2 * & * & -1], mas desta última matriz apenas a última coluna pode ser lida. Encontre x+y+z.
R. 4

Passo 1

Então, a gente tem um problema envolvendo matrizes. O enunciado nos dá uma matriz com algumas incógnitas , e , e também uma outra matriz que resulta do produto vezes a transposta de , ou seja, . Só que nessa segunda matriz, a gente só consegue ver a última coluna. A missão aqui é descobrir o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de A = 1 & x & 0 0 & 0 & y 0 & 0 & z , denotada por A^t = 1 & 0 & 0 x & 0 & 0 0 & y & z , é simplesmente a matriz “girando” seus elementos de forma que as linhas viram colunas e vice-versa. Então, se é:
Então, será:

Passo 3

Agora, precisamos calcular A^2 = A times A = 1 & x & 0 0 & 0 & y 0 & 0 & z times 1 & x & 0 0 & 0 & y 0 & 0 & z , que significa A^2 = 1 times 1 + x times 0 + 0 times 0 & 1 times x + x times 0 + 0 times 0 & 1 times 0 + x times y + 0 times z 0 times 1 + 0 times 0 + y times 0 & 0 times x + 0 times 0 + y times 0 & 0 times 0 + 0 times y + y times z 0 times 1 + 0 times 0 + z times 0 & 0 times x + 0 times 0 + z times 0 & 0 times 0 + 0 times y + z times z multiplicada por ela mesma. Vamos fazer essa multiplicação passo a passo. Multiplicar matrizes envolve multiplicar as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda.
A^2 = 1 & x & xy 0 & 0 & yz 0 & 0 & z^2
Fazendo a multiplicação, obtemos:
Simplificando, fica:

Passo 4

Agora que temos A^2 A^t = 1 & x & xy 0 & 0 & yz 0 & 0 & z^2 times 1 & 0 & 0 x & 0 & 0 0 & y & z e A^2 A^t = 1 + x^2 & xy^2 & xyz 0 & yz^2 & yz^2 0 & z^2 y & z^3 , vamos multiplicar por :
Vamos multiplicar as linhas de pelas colunas de :
  • Primeira linha:
    • Primeiro elemento:
    • Segundo elemento:
    • Terceiro elemento:
  • Segunda linha:
    • Primeiro elemento:
    • Segundo elemento:
    • Terceiro elemento:
  • Terceira linha:
    • Primeiro elemento:
    • Segundo elemento:
    • Terceiro elemento:
Então, fica:

Passo 5

No enunciado, a gente só consegue ver a última coluna dessa matriz resultante:
* & * & -6 * & * & 2 * & * & -1
Comparando com o que obtivemos:
1 + x^2 & xy^2 & xyz 0 & yz^2 & yz^2 0 & z^2 y & z^3
A última coluna nos dá as seguintes equações:

Passo 6

Vamos resolver essas equações para encontrar z^3 = -1 implies z = -1 , y z^2 = 2 implies y (-1)^2 = 2 implies y times 1 = 2 implies y = 2 e x times 2 times (-1) = -6 implies -2x = -6 implies x = 3 .
Primeiro, da terceira equação:
Agora que sabemos que , vamos para a segunda equação:
Por último, com e , substituímos na primeira equação:

Resposta

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