Calcular o valor de e para que a reta esteja contida no plano .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta definida pelas equações paramétricas:
e um plano dado pela equação:
O objetivo é encontrar os valores de e de maneira que toda a reta esteja contida nesse plano. Isso significa que para qualquer valor de , os pontos da reta devem satisfazer a equação do plano. Para resolver isso, vamos substituir as expressões de , e da reta na equação do plano e encontrar as condições para que a igualdade seja verdadeira para todo .

Passo 2

Vamos substituir as expressões paramétricas da reta na equação do plano:
Agora, vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 3

Primeiro, distribuímos os coeficientes:

Passo 4

Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes, ou seja, os que contêm e os constantes:
Isso simplifica para:

Passo 5

Para que a igualdade seja verdadeira para todo valor de , os coeficientes de e o termo constante devem ser iguais a zero separadamente. Então, temos um sistema de duas equações:

Passo 6

Resolvendo a primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:

Resposta

Os valores que satisfazem a condição são e .

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Considere em o seguinte produto interno
(a) Se , determine . Resp.:
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(a)