Calcular o valor de e para que a reta esteja contida no plano .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta definida pelas equações paramétricas:
x = -1 + t y = 3 - 2t z = 2t
e um plano dado pela equação:
pi: m x + 2 y - 3 z + n = 0
O objetivo é encontrar os valores de e de maneira que toda a reta esteja contida nesse plano. Isso significa que para qualquer valor de , os pontos da reta devem satisfazer a equação do plano. Para resolver isso, vamos substituir as expressões de , e da reta na equação do plano e encontrar as condições para que a igualdade seja verdadeira para todo .
Passo 2
Vamos substituir as expressões paramétricas da reta na equação do plano:
m(-1 + t) + 2(3 - 2t) - 3(2t) + n = 0
Agora, vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Passo 3
Primeiro, distribuímos os coeficientes:
- m + m t + 6 - 4t - 6t + n = 0
Passo 4
Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes, ou seja, os que contêm (m t - 4t - 6t) + (-m + 6 + n) = 0 e os constantes:
(m - 10)t + (-m + 6 + n) = 0
Isso simplifica para:
Passo 5
Para que a igualdade seja verdadeira para todo valor de m - 10 = 0 - m + 6 + n = 0 , os coeficientes de e o termo constante devem ser iguais a zero separadamente. Então, temos um sistema de duas equações:
Passo 6
Resolvendo a primeira equação:
m - 10 = 0 implies m = 10
Agora, substituímos -10 + 6 + n = 0 implies -4 + n = 0 implies n = 4 na segunda equação: