Use a teoria a respeito de dependência linear para determinar a equação do plano gerado pelos vetores e . Construa uma base de que contenha os vetores e
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve dependência linear. Precisamos encontrar a equação de um plano que é gerado pelos vetores e . Além disso, temos que construir uma base de que inclua esses dois vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, planos no espaço tridimensional e bases vetoriais.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a equação do plano gerado pelos vetores e , precisamos encontrar um vetor normal ao plano. Isso pode ser feito calculando o produto vetorial desses dois vetores.
O produto vetorial é dado por:
Passo 3
Calculando o determinante:
u times v = i(0 cdot 1 - 3 cdot 1) - j(-1 cdot 1 - 3 cdot 0) + k(-1 cdot 1 - 0 cdot 0)
= i(0 - 3) - j(-1 - 0) + k(-1 - 0)
= -3i + j - k
= (-3, 1, -1)
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 4
Agora, com o vetor normal n cdot (x, y, z) = 0 e sabendo que o plano passa pela origem (já que os vetores -3x + 1y -1z = 0 e -3x + y - z = 0 estão na origem), a equação do plano pode ser escrita usando a forma:
Substituindo os valores:
Ou simplificando:
Essa é a equação do plano gerado pelos vetores e .
Passo 5
Agora, vamos construir uma base de au + bv = w que contenha os vetores a(-1, 0, 3) + b(0, 1, 1) = (1, 1, 1) e - a = 1 b = 1 3a + b = 1 . Para isso, precisamos de um terceiro vetor que seja linearmente independente dos dois primeiros.
Podemos escolher um vetor que não está no plano gerado por e . Uma maneira simples é pegar um vetor que não é combinação linear de e . Vamos escolher, por exemplo, .
Vamos verificar se é independente:
Assumimos que existe e tais que:
Isso resulta no sistema:
Da primeira equação, . Da segunda, . Substituindo na terceira: . Contradição! Então, é independente.
Passo 6
Portanto, nossa base de u, v, w = (-1, 0, 3), , (0, 1, 1), , (1, 1, 1) que contém os vetores e é:
Essa base é válida porque os três vetores são mutuamente independentes e, portanto, formam uma base para o espaço tridimensional.
Resposta
A equação do plano gerado pelos vetores e é . Além disso, uma base de que contém e é .