Use a teoria a respeito de dependência linear para determinar a equação do plano gerado pelos vetores e . Construa uma base de que contenha os vetores e

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve dependência linear. Precisamos encontrar a equação de um plano que é gerado pelos vetores e . Além disso, temos que construir uma base de que inclua esses dois vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, planos no espaço tridimensional e bases vetoriais.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a equação do plano gerado pelos vetores e , precisamos encontrar um vetor normal ao plano. Isso pode ser feito calculando o produto vetorial desses dois vetores.
O produto vetorial é dado por:

Passo 3

Calculando o determinante:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

Agora, com o vetor normal e sabendo que o plano passa pela origem (já que os vetores e estão na origem), a equação do plano pode ser escrita usando a forma:
Substituindo os valores:
Ou simplificando:
Essa é a equação do plano gerado pelos vetores e .

Passo 5

Agora, vamos construir uma base de que contenha os vetores e . Para isso, precisamos de um terceiro vetor que seja linearmente independente dos dois primeiros.
Podemos escolher um vetor que não está no plano gerado por e . Uma maneira simples é pegar um vetor que não é combinação linear de e . Vamos escolher, por exemplo, .
Vamos verificar se é independente:
Assumimos que existe e tais que:
Isso resulta no sistema:
Da primeira equação, . Da segunda, . Substituindo na terceira: . Contradição! Então, é independente.

Passo 6

Portanto, nossa base de que contém os vetores e é:
Essa base é válida porque os três vetores são mutuamente independentes e, portanto, formam uma base para o espaço tridimensional.

Resposta

A equação do plano gerado pelos vetores e é . Além disso, uma base de que contém e é .

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