Resolva os sistemas abaixo (pelo método de Gauss-Jordan) escrevendo as matrizes ampliadas associadas aos novos sistemas. Reduza as matrizes ampliadas à forma escalonada reduzida, determine seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade: lx+y+z+t=0, x+y+z-t=4, x+y-z+t=-4, x-y+z+t=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de quatro equações com quatro variáveis: , , e . A gente vai resolver esse sistema usando o método de Gauss-Jordan, que é uma técnica para simplificar sistemas lineares. Para isso, vamos precisar montar a matriz ampliada do sistema e depois transformá-la em uma forma mais simples para encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz ampliada do sistema. A matriz ampliada reúne os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações. Olhando para o sistema:
l x + y + z + t = 0, x + y + z - t = 4, x + y - z + t = -4, x - y + z + t = 2
A matriz ampliada fica assim:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 1 & 1 & 1 & -1 & | & 4 1 & 1 & -1 & 1 & | & -4 1 & -1 & 1 & 1 & | & 2

Passo 3

Agora, vamos começar a simplificar essa matriz usando operações de linha. O objetivo é transformar a matriz em uma forma escalonada reduzida, onde conseguimos identificar facilmente as soluções.
Primeiro, vamos usar a primeira linha como referência e eliminar o 1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & -2 & | & 4 0 & 0 & -2 & 0 & | & -4 0 & -2 & 0 & 0 & | & 2 das outras linhas. Para isso, subtraímos a primeira linha das linhas 2, 3 e 4:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
A matriz agora fica:

Passo 4

Vamos simplificar ainda mais. Observamos que a segunda, terceira e quarta linhas têm menos variáveis. Vamos reorganizar a matriz para facilitar:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & -2 & 0 & 0 & | & 2 0 & 0 & -2 & 0 & | & -4 0 & 0 & 0 & -2 & | & 4
Agora, vamos dividir cada uma dessas linhas pelas constantes que estão multiplicando as variáveis para obter 1:
  • Linha 2: Dividir por 1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 1 & 0 & 0 & | & -1 0 & 0 & 1 & 0 & | & 2 0 & 0 & 0 & 1 & | & -2
  • Linha 3: Dividir por
  • Linha 4: Dividir por
A matriz simplificada fica:

Passo 5

Agora que temos valores para x + y + z + t = 0 x + (-1) + 2 + (-2) = 0 x -1 +2 -2 = 0 x -1 = 0 x = 1 , e , vamos substituir esses valores na primeira linha para encontrar o valor de :

Passo 6

Com isso, encontramos todas as variáveis:
x = 1, y = -1, z = 2, t = -2

Resposta

A solução do sistema é , , e .

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