Considere em P2(R) o seguinte produto interno
lang<= f(t), g(t)rang<==integral0^1 f(t) g(t) d t
(a) Se f(t)=1-t^2, determine |f(t)|. Resp.: raiz815

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a norma da função lang<= f(t), g(t)rang<= = integral0^1 f(t) g(t) , dt no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, denotado por . O produto interno nesse espaço é definido pela integral:
Para resolver isso, precisamos saber como calcular a norma de uma função usando esse produto interno.

Passo 2

A norma de uma função |f(t)| = raiz lang<= f(t), f(t) rang<= em um espaço com produto interno é dada por:
Isso significa que vamos calcular o produto interno de consigo mesma e depois tirar a raiz quadrada do resultado.

Passo 3

Vamos substituir lang<= f(t), f(t) rang<= = integral0^1 (1 - t^2) cdot (1 - t^2) , dt na fórmula do produto interno:

Passo 4

Primeiro, vamos simplificar o integrando:
(1 - t^2) cdot (1 - t^2) = 1 - 2t^2 + t^4
Então, a integral fica:
lang<= f(t), f(t) rang<= = integral0^1 (1 - 2t^2 + t^4) , dt

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral termo a termo:
integral0^1 1 , dt = [t]0^1 = 1 - 0 = 1
integral0^1 t^2 , dt = [ t^33 ]0^1 = 13 - 0 = 13
integral0^1 t^4 , dt = [ t^55 ]0^1 = 15 - 0 = 15

Passo 6

Substituindo os resultados das integrais na expressão do produto interno:
lang<= f(t), f(t) rang<= = 1 - 2 cdot 13 + 15 = 1 - 23 + 15
Vamos converter todos para denominador 15:
1 = 1515, 23 = 1015, 15 = 315
Então:
lang<= f(t), f(t) rang<= = 1515 - 1015 + 315 = 815

Resposta

Assim, a norma de |f(t)| = raiz 815 é:

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