Seja um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(a)

Passo 1

Então, a gente precisa provar que, num espaço euclidiano , a relação vale para todo número real e para quaisquer vetores e em . Isso faz parte do estudo de produtos internos (ou produtos escalares), que basicamente mede como dois vetores “se relacionam” no espaço, e vamos usar as propriedades desse produto para chegar na prova.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Ele é uma maneira de multiplicar dois vetores para obter um número real, e tem que seguir algumas regras, como linearidade em cada um dos argumentos. A propriedade que a gente quer provar aqui é a linearidade no segundo argumento, ou seja, quando a gente multiplica o segundo vetor por uma constante, o resultado do produto interno também é multiplicado por essa constante.

Passo 3

Vamos pegar o lado esquerdo da nossa igualdade, . Por definição de produto interno, se a gente tem um vetor multiplicado por um escalar, a gente pode tirar o escalar de fora do produto interno. Isso é justamente a propriedade de linearidade que a gente quer usar. Então:

Passo 4

Viu só? A gente simplesmente aplicou a propriedade de linearidade no segundo argumento do produto interno. Isso mostra que multiplicar o segundo vetor por é o mesmo que multiplicar o resultado do produto interno por .

Resposta

Portanto, mostramos que para todo e para quaisquer .

Exercícios relacionados

Considere em o seguinte produto interno
(a) Se , determine . Resp.:
Calcular o valor de e para que a reta esteja contida no plano .
Classifique as seguintes transformações lineares como injetoras, sobrejetoras e/ou bijetoras:
dada por
Calcule onde .