Seja um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(a)
Passo 1
Então, a gente precisa provar que, num espaço euclidiano , a relação vale para todo número real e para quaisquer vetores e em . Isso faz parte do estudo de produtos internos (ou produtos escalares), que basicamente mede como dois vetores “se relacionam” no espaço, e vamos usar as propriedades desse produto para chegar na prova.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Ele é uma maneira de multiplicar dois vetores para obter um número real, e tem que seguir algumas regras, como linearidade em cada um dos argumentos. A propriedade que a gente quer provar aqui é a linearidade no segundo argumento, ou seja, quando a gente multiplica o segundo vetor por uma constante, o resultado do produto interno também é multiplicado por essa constante.
Passo 3
Vamos pegar o lado esquerdo da nossa igualdade, . Por definição de produto interno, se a gente tem um vetor multiplicado por um escalar, a gente pode tirar o escalar de fora do produto interno. Isso é justamente a propriedade de linearidade que a gente quer usar. Então:
Passo 4
Viu só? A gente simplesmente aplicou a propriedade de linearidade no segundo argumento do produto interno. Isso mostra que multiplicar o segundo vetor por é o mesmo que multiplicar o resultado do produto interno por .
Resposta
Portanto, mostramos que para todo e para quaisquer .