Considere um plano
Pi=(x, y, z) in R^3 ; a x+b y+c z+d=0
e dois pontos distintos P, Q in Pi. Demonstre que a (única) reta R subset B^3 que passa por P e Q está inteiramente contida em Pi.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Tamo lidando com geometria analítica aqui. A gente tem um plano definido pela equação e dois pontos distintos e que estão nesse plano. A missão é mostrar que a reta que passa por e está toda dentro do plano . Pra resolver isso, vamos precisar entender como representam uma reta no espaço e como verificar se um ponto está no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como escrever a equação paramétrica de uma reta que passa por dois pontos R(t) = P + t(Q - P) = ( x1 + t(x2 - x1), y1 + t(y2 - y1), z1 + t(z2 - z1) ) e . Se e , a equação da reta pode ser escrita assim:
Aqui, é um parâmetro que varia sobre os números reais.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que qualquer ponto na reta a x + b y + c z + d = 0 satisfaz a equação do plano a (x1 + t(x2 - x1)) + b (y1 + t(y2 - y1)) + c (z1 + t(z2 - z1)) + d = 0 . Ou seja, se pegarmos um ponto qualquer a x1 + a t(x2 - x1) + b y1 + b t(y2 - y1) + c z1 + c t(z2 - z1) + d = 0 na reta, ele deve satisfazer:
(a x1 + b y1 + c z1 + d) + t(a (x2 - x1) + b (y2 - y1) + c (z2 - z1)) = 0
Vamos substituir da equação da reta na equação do plano:
Distribuindo os termos:
Agora, se agrupamos os termos que não dependem de e os que dependem:

Passo 4

Vamos lembrar que a x1 + b y1 + c z1 + d = 0 e a x2 + b y2 + c z2 + d = 0 estão no plano a (x2 - x1) + b (y2 - y1) + c (z2 - z1) = 0 , então substituindo 0 + t cdot 0 = 0 e na equação do plano:
Para :
Para :
Subtraindo a equação de da equação de :
Então, voltando à equação anterior:
Isso significa que qualquer ponto na reta satisfaz a equação do plano .

Resposta

Portanto, a reta que passa por e está inteiramente contida no plano .

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