Considere um plano
e dois pontos distintos . Demonstre que a (única) reta que passa por e está inteiramente contida em .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Tamo lidando com geometria analítica aqui. A gente tem um plano definido pela equação e dois pontos distintos e que estão nesse plano. A missão é mostrar que a reta que passa por e está toda dentro do plano . Pra resolver isso, vamos precisar entender como representam uma reta no espaço e como verificar se um ponto está no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como escrever a equação paramétrica de uma reta que passa por dois pontos e . Se e , a equação da reta pode ser escrita assim:
Aqui, é um parâmetro que varia sobre os números reais.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que qualquer ponto na reta satisfaz a equação do plano . Ou seja, se pegarmos um ponto qualquer na reta, ele deve satisfazer:
Vamos substituir da equação da reta na equação do plano:
Distribuindo os termos:
Agora, se agrupamos os termos que não dependem de e os que dependem:

Passo 4

Vamos lembrar que e estão no plano , então substituindo e na equação do plano:
Para :
Para :
Subtraindo a equação de da equação de :
Então, voltando à equação anterior:
Isso significa que qualquer ponto na reta satisfaz a equação do plano .

Resposta

Portanto, a reta que passa por e está inteiramente contida no plano .

Exercícios relacionados

Calcule a dimensão dos subespaços:
[Dica: ]
(EXTRA) Se você NÃO tiver conseguido fazer a questão acima, classifique então a seguinte cônica
e determine, caso não seja degenerada, seus focos, vertices, centro, excentricidade, reta focal não focal.
Calcule: e
Calcular o valor de para que os seguintes pares de retas sejam paralelas: