Considere um plano
e dois pontos distintos
. Demonstre que a (única) reta
que passa por
e
está inteiramente contida em
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Tamo lidando com geometria analítica aqui. A gente tem um plano definido pela equação
e dois pontos distintos
e
que estão nesse plano. A missão é mostrar que a reta
que passa por
e
está toda dentro do plano
. Pra resolver isso, vamos precisar entender como representam uma reta no espaço e como verificar se um ponto está no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como escrever a equação paramétrica de uma reta que passa por dois pontos
e
. Se
e
, a equação da reta
pode ser escrita assim:
Aqui,
é um parâmetro que varia sobre os números reais.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que qualquer ponto na reta
satisfaz a equação do plano
. Ou seja, se pegarmos um ponto qualquer
na reta, ele deve satisfazer:
Vamos substituir
da equação da reta na equação do plano:
Distribuindo os termos:
Agora, se agrupamos os termos que não dependem de
e os que dependem:
Passo 4
Vamos lembrar que
e
estão no plano
, então substituindo
e
na equação do plano:
Para
:
Para
:
Subtraindo a equação de
da equação de
:
Então, voltando à equação anterior:
Isso significa que qualquer ponto na reta
satisfaz a equação do plano
.
Resposta
Portanto, a reta
que passa por
e
está inteiramente contida no plano
.
Exercícios relacionados
Calcule a dimensão dos subespaços:
[Dica: ]
[Dica:
(EXTRA) Se você NÃO tiver conseguido fazer a questão acima, classifique então a seguinte cônica
e determine, caso não seja degenerada, seus focos, vertices, centro, excentricidade, reta focal
não focal.
Calcule:
e
Calcular o valor de
para que os seguintes pares de retas sejam paralelas: