Calcular o valor de para que sejam coplanares as seguintes retas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de que faz com que duas retas sejam coplanares. Isso está ligado ao conteúdo de geometria analítica no espaço, mais especificamente sobre retas e planos. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das retas no espaço tridimensional e usar um pouco de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das duas retas que nos foram dadas.
A reta está definida por:
Podemos reescrever essa reta na forma paramétrica. Vamos usar como parâmetro:
Então, a reta é dada por .
A reta está na forma simétrica:
Podemos também transformar essa equação na forma paramétrica. Vamos chamar o parâmetro de :
Então, a reta é dada por .

Passo 3

Agora, para saber se as retas e são coplanares, precisamos verificar se existe um plano que contenha ambas as retas. Em termos de álgebra vetorial, isso significa que os vetores diretores das duas retas e o vetor que conecta um ponto de uma reta a um ponto da outra reta devem ser coplanares.
Vamos identificar os vetores diretores e os pontos nas retas:
Para a reta :
  • Vetor diretor:
  • Ponto na reta: (quando )
Para a reta :
  • Vetor diretor:
  • Ponto na reta: (quando )
O vetor que conecta a é:

Passo 4

A condição para que três vetores , e sejam coplanares é que o produto misto deles seja zero:
No nosso caso, os vetores são , e . Então, precisamos calcular:
Vamos calcular o produto vetorial primeiro.

Passo 5

Calculando o produto vetorial :
Portanto,

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar :

Passo 7

Para que as retas sejam coplanares, o produto escalar precisa ser igual a zero:

Resposta

O valor de que torna as retas e coplanares é .

Exercícios relacionados

Uma matriz transmite uma palavra de letras em que cada elemento da matriz representa uma letra do alfabeto.
A fim de dificultar a leitura da palavra, por se tratar de informação secreta, a matriz é .
1
a) A soma dos elementos da matriz A .
Mostre se os conjuntos abaixo formam ou não espaço vetorial. Em caso negativo, indique quais axiomas não são respeitados:
a) matrizes , com ;
Se , prove que .
Dados e , calcular