Mostre se os conjuntos abaixo formam ou não espaço vetorial. Em caso negativo, indique quais axiomas não são respeitados:
a) matrizes , com ;

Passo 1

Vamos analisar se o conjunto de matrizes da forma , onde é um número real, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de espaço vetorial e verificar se esse conjunto satisfaz os axiomas necessários para ser considerado um.

Passo 2

Primeiro, um espaço vetorial deve ser fechado em relação à adição. Isso significa que, se pegarmos duas matrizes desse conjunto e somá-las, o resultado também deve pertencer ao mesmo conjunto. Vamos testar isso.

Passo 3

Pegamos duas matrizes do conjunto:
Sua soma é:
Para que essa matriz também pertença ao conjunto original, o elemento deve ser . No entanto, na soma, esse elemento é , que não é igual a . Portanto, o conjunto não é fechado pela adição.

Passo 4

Além disso, vamos verificar a multiplicação por escalar. Se multiplicarmos uma matriz do conjunto por um número real , temos:
Para que essa matriz pertença ao conjunto original, o elemento deve ser . A menos que , isso não se mantém. Portanto, o conjunto também não é fechado pela multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto de matrizes , com , não forma um espaço vetorial porque não é fechado nem pela adição nem pela multiplicação por escalar, violando os axiomas de fechamento necessários para um espaço vetorial.

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Dadas as retas:
Determinar: O ângulo entre e
Uma técnica para criptografar mensagens utiliza a multiplicação de matrizes. Um codificador transforma sua mensagem numa matriz , com duas linhas, substituindo cada letra pelo número correspondente à sua ordem no alfabeto, conforme modelo apresentado a seguir.
Letra A B C D E F G H I J K
Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Letra L M N O P Q R S T U
Número 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Letra V W X Y Z -
Número 22 23 24 25 26 27
Por exemplo, a palavra SENHAS ficaria assim:
Para codificar, uma matriz , A, é multiplicada pela matriz , resultando na matriz , que é a mensagem codificada a ser enviada.
Ao receber a mensagem, o decodificador precisa reobter para descobrir a mensagem original. Para isso, utiliza uma matriz , tal que , onde é a matriz identidade ( ). Assim, multiplicando por , obtémse .
Uma palavra codificada, segundo esse processo, por uma matriz resultou na matriz
Calcule a matriz , decodifique a mensagem e identifique a palavra original.
Uma matriz transmite uma palavra de letras em que cada elemento da matriz representa uma letra do alfabeto.
A fim de dificultar a leitura da palavra, por se tratar de informação secreta, a matriz é .
1
a) A soma dos elementos da matriz A .
Calcular o valor de para que sejam coplanares as seguintes retas: