Mostre se os conjuntos abaixo formam ou não espaço vetorial. Em caso negativo, indique quais axiomas não são respeitados:
a) matrizes , com ;
Passo 1
Vamos analisar se o conjunto de matrizes da forma , onde é um número real, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de espaço vetorial e verificar se esse conjunto satisfaz os axiomas necessários para ser considerado um.
Passo 2
Primeiro, um espaço vetorial deve ser fechado em relação à adição. Isso significa que, se pegarmos duas matrizes desse conjunto e somá-las, o resultado também deve pertencer ao mesmo conjunto. Vamos testar isso.
Passo 3
Pegamos duas matrizes do conjunto:
Sua soma é:
Para que essa matriz também pertença ao conjunto original, o elemento deve ser . No entanto, na soma, esse elemento é , que não é igual a . Portanto, o conjunto não é fechado pela adição.
Passo 4
Além disso, vamos verificar a multiplicação por escalar. Se multiplicarmos uma matriz do conjunto por um número real , temos:
Para que essa matriz pertença ao conjunto original, o elemento deve ser . A menos que , isso não se mantém. Portanto, o conjunto também não é fechado pela multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto de matrizes , com , não forma um espaço vetorial porque não é fechado nem pela adição nem pela multiplicação por escalar, violando os axiomas de fechamento necessários para um espaço vetorial.