Calcular o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas:
(a) r:ly=2 x+3 z=3 x-1 e s: x-12=y-1=zm.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar o valor de que faz com que as retas dadas sejam coplanares. Isso está na área de Geometria Analítica, onde trabalhamos com retas no espaço. Para resolver, vamos precisar entender os vetores diretores das retas e usar um pouco de álgebra para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas de uma forma mais clara. A reta y = 2x + 3 z = 3x - 1 está definida por:
x = t y = 2t + 3 z = 3t - 1
Podemos parametrizar essa reta usando um parâmetro r(t) = (t,, 2t + 3,, 3t - 1) :
Então, a forma paramétrica da reta é:
O vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta x - 12 = y-1 = zm :
x = 2lambda + 1 y = -lambda z = mlambda
Vamos chamar cada parte dessa igualdade de s(lambda) = (2lambda + 1,, -lambda,, mlambda) . Então:
A forma paramétrica da reta é:
O vetor diretor da reta é .

Passo 4

Para verificar se as retas são coplanares, precisamos de dois vetores diretores e um vetor que conecta um ponto em t = 0 Rightarrow P = (0,, 3,, -1) a um ponto em lambda = 0 Rightarrow Q = (1,, 0,, 0) . Vamos escolher os pontos onde os parâmetros são zero:
Para PQ = Q - P = (1 - 0, 0 - 3, 0 - (-1)) = (1, -3, 1) :
Para :
O vetor que conecta a é:

Passo 5

Agora, vamos usar o conceito de produto misto para verificar a coplanaridade. As retas são coplanares se o produto misto dos vetores diretores e o vetor vr cdot (vs times PQ) = 0 for zero:
vs times PQ = i & j & k 2 & -1 & m 1 & -3 & 1 = i((-1)(1) - m(-3)) - j(2(1) - m(1)) + k(2(-3) - (-1)(1))
Primeiro, calculamos o produto vetorial = i(-1 + 3m) - j(2 - m) + k(-6 + 1) :
= ( -1 + 3m,, -2 + m,, -5 )
vr cdot (vs times PQ) = 1(-1 + 3m) + 2(-2 + m) + 3(-5)
= -1 + 3m -4 + 2m -15
Agora, calculamos o produto escalar com = 5m -20 :

Passo 6

Para que as retas sejam coplanares, o produto misto deve ser zero:
5m - 20 = 0
Resolvendo para 5m = 20 Rightarrow m = 4 :

Resposta

O valor de que torna as retas coplanares é .

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