Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e considere W um subespaço de V tal que V=W oplus W^perp. Prove que dim V=dim W+dim W^perp.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial V com dimensão finita e um subespaço W dentro de V. Além disso, V é a soma direta de W e do complemento ortogonal de W, que é W^perp. A missão é provar que a dimensão de V é igual à soma das dimensões de W e de W^perp. Para isso, vamos usar conceitos de soma direta e dimensões de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que V = W oplus W^perp. Isso quer dizer que todo vetor em V pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor em W e outro em W^perp, e que a interseção desses subespaços é apenas o vetor zero. Ou seja:
V = W + W^perp e W cap W^perp = 0

Passo 3

Sabemos de álgebra linear que, se um espaço é a soma direta de dois subespaços, então a dimensão do espaço é a soma das dimensões desses subespaços. Matemáticamente, isso é expresso por:
dim(V) = dim(W) + dim(W^perp)
Essa propriedade é fundamental quando temos componentes que não se sobrepõem além do zero.

Passo 4

Vamos aplicar essa propriedade ao nosso caso. Já que V é a soma direta de W e W^perp, então automaticamente podemos concluir que a dimensão de V é a soma das dimensões de W e de W^perp.

Resposta

Portanto, mostramos que dim V = dim W + dim W^perp.

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