Seja
um espaço vetorial de dimensão finita e considere
um subespaço de
tal que
. Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial
com dimensão finita e um subespaço
dentro de
. Além disso,
é a soma direta de
e do complemento ortogonal de
, que é
. A missão é provar que a dimensão de
é igual à soma das dimensões de
e de
. Para isso, vamos usar conceitos de soma direta e dimensões de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
. Isso quer dizer que todo vetor em
pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor em
e outro em
, e que a interseção desses subespaços é apenas o vetor zero. Ou seja:
Passo 3
Sabemos de álgebra linear que, se um espaço é a soma direta de dois subespaços, então a dimensão do espaço é a soma das dimensões desses subespaços. Matemáticamente, isso é expresso por:
Essa propriedade é fundamental quando temos componentes que não se sobrepõem além do zero.
Passo 4
Vamos aplicar essa propriedade ao nosso caso. Já que
é a soma direta de
e
, então automaticamente podemos concluir que a dimensão de
é a soma das dimensões de
e de
.
Resposta
Portanto, mostramos que
.