Considere o sistema
c 2 x+y-z=0 x+y+z=0
Qual é a dimensão do subespaço das soluções? Construa uma base ortonormal para esse subespaço considerando o produto escalar usual.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de duas equações lineares com três incógnitas:
c 2x + y - z = 0 x + y + z = 0
A pergunta quer saber qual é a dimensão do subespaço das soluções desse sistema e também quer que a gente construa uma base ortonormal para esse subespaço usando o produto escalar usual. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais, sistemas lineares e ortonormalização.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a dimensão do subespaço das soluções. Para isso, observamos que temos 3 variáveis (x, y, z) e 2 equações. Geralmente, a dimensão do subespaço das soluções é igual ao número de variáveis menos o posto da matriz dos coeficientes.
A matriz dos coeficientes é:
A = 2 & 1 & -1 1 & 1 & 1
Vamos ver o posto dessa matriz. Como as duas linhas não são múltiplas uma da outra, o posto de A é 2. Portanto, a dimensão do subespaço das soluções é:
Dimensão = 3 , (variáveis) - 2 , (posto) = 1 ãá
Isso significa que as soluções do sistema formam uma reta no espaço tridimensional.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma base para esse subespaço. Como a dimensão é 1, precisamos encontrar um vetor não nulo que pertença ao subespaço das soluções.
Vamos resolver o sistema para expressar as variáveis em termos de um parâmetro livre. Vamos chamar 2x + y - z = 0 implies z = 2x + y .
Da primeira equação:
x + y + z = 0 implies x + y + (2x + y) = 0 implies 3x + 2y = 0 implies y = -32x
Substituindo na segunda equação:
z = 2x + (-32x) = 12x
Substituindo x = t y = -32t z = 12t na expressão de v = t 1 -32 12 :
v = t 2 -3 1
Portanto, as soluções podem ser escritas como:
2 -3 1
Ou em forma vetorial:
Para simplificar, podemos multiplicar o vetor por 2:
Esse vetor é uma base para o subespaço das soluções.

Passo 4

Agora, vamos normalizar esse vetor para obter uma base ortonormal. Isso significa que o vetor terá comprimento 1.
Primeiro, calculamos o comprimento (ou norma) do vetor:
|v| = raiz2^2 + (-3)^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14
Então, o vetor normalizado é:
u = 1raiz14 2 -3 1
Esse vetor forma uma base ortonormal para o subespaço das soluções.

Resposta

A dimensão do subespaço das soluções é 1. Uma base ortonormal para esse subespaço é o vetor
u = 1raiz14 2 -3 1

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