Qual é a dimensão do subespaço das soluções? Construa uma base ortonormal para esse subespaço considerando o produto escalar usual.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de duas equações lineares com três incógnitas:
A pergunta quer saber qual é a dimensão do subespaço das soluções desse sistema e também quer que a gente construa uma base ortonormal para esse subespaço usando o produto escalar usual. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais, sistemas lineares e ortonormalização.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a dimensão do subespaço das soluções. Para isso, observamos que temos 3 variáveis (x, y, z) e 2 equações. Geralmente, a dimensão do subespaço das soluções é igual ao número de variáveis menos o posto da matriz dos coeficientes.
A matriz dos coeficientes é:
Vamos ver o posto dessa matriz. Como as duas linhas não são múltiplas uma da outra, o posto de A é 2. Portanto, a dimensão do subespaço das soluções é:
Isso significa que as soluções do sistema formam uma reta no espaço tridimensional.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma base para esse subespaço. Como a dimensão é 1, precisamos encontrar um vetor não nulo que pertença ao subespaço das soluções.
Vamos resolver o sistema para expressar as variáveis em termos de um parâmetro livre. Vamos chamar .
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na expressão de :
Portanto, as soluções podem ser escritas como:
Ou em forma vetorial:
Para simplificar, podemos multiplicar o vetor por 2:
Esse vetor é uma base para o subespaço das soluções.
Passo 4
Agora, vamos normalizar esse vetor para obter uma base ortonormal. Isso significa que o vetor terá comprimento 1.
Primeiro, calculamos o comprimento (ou norma) do vetor: