Considere o triângulo de vértices A(3,-1,-1), B(1,2,-7) e C(-5,-14,-3). Determine a equação da:
(a) reta que contém a mediana relativa ao lado A B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente tem um triângulo com os vértices , e . A tarefa é encontrar a equação da reta que contém a mediana relativa ao lado . Para isso, vamos precisar saber o que é uma mediana em um triângulo e como encontrar a equação de uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma mediana em um triângulo é uma reta que vai de um vértice até o ponto médio do lado oposto. No caso, queremos a mediana relativa ao lado , ou seja, a reta que vai do vértice até o ponto médio de .

Passo 3

Vamos achar as coordenadas do ponto médio de M = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) . A fórmula para o ponto médio entre dois pontos M = ( 3 + 12, -1 + 22, -1 + (-7)2 ) = ( 2, 0.5, -4 ) e é:
Aplicando isso:

Passo 4

Agora que temos o ponto r(t) = C + t(M - C) , queremos a equação da reta que passa por M - C = (2 - (-5),, 0.5 - (-14),, -4 - (-3)) = (7, 14.5, -1) e x = -5 + 7t . A equação paramétrica de uma reta no espaço pode ser escrita assim:
y = -14 + 14.5t
Calculando z = -3 - t :
Então, a equação paramétrica fica:

Resposta

A equação da reta que contém a mediana relativa ao lado x = -5 + 7t y = -14 + 14.5t z = -3 - t , t in R é:

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