Obtenha os pontos da reta que eqüidistam das retas e :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão está pedindo é para encontrar os pontos na reta que estão na mesma distância das retas e . A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente conceitos sobre distâncias entre pontos e retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar uma reta e calcular a distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas que temos:
Reta :
Reta :
Reta :
Para facilitar, vamos parametrizar a reta . A parametrização serve para expressar qualquer ponto na reta em função de um parâmetro, geralmente chamado de .
Passo 3
Parametrizando a reta :
A equação pode ser escrita em termos de um parâmetro :
Então, qualquer ponto na reta pode ser representado como .
Passo 4
Agora, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto a uma reta no espaço. A fórmula para a distância D = dfrac|v times PQ||v| de um ponto a uma reta definida por um ponto e um vetor diretor é:
Onde representa o produto vetorial.
Passo 5
Vamos aplicar essa fórmula para calcular a distância de às retas e .
Primeiro, para a reta :
Um ponto na reta é .
O vetor diretor de é (obtido das igualdades ).
Já para a reta :
Um ponto na reta é .
O vetor diretor de é (obtido das igualdades ).
Passo 6
Calculando as distâncias:
Distância de PQs = P(t) - Qs = (1 + t, dfract2, t) à reta vs times PQs = i & j & k 1 & 1 & 1 1 + t & dfract2 & t = (1 cdot t - 1 cdot dfract2)i - (1 cdot t - 1 cdot (1 + t))j + (1 cdot dfract2 - 1 cdot (1 + t))k :
= (dfract2)i - (-1)j + (-dfract2 -1)k
= (dfract2)i + j - (dfract2 +1)k
Simplificando:
|vs times PQs| = raiz(dfract2)^2 + 1^2 + (dfract2 +1)^2
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
t1 = dfrac5226 = 2
Portanto:
t2 = dfrac426 = dfrac213
Resposta
Os pontos na reta P(2) = (1 + 2, dfrac22, 2) = (3, 1, 2) que estão equidistantes das retas P(dfrac213) = (1 + dfrac213, dfracdfrac2132, dfrac213) = (dfrac1513, dfrac113, dfrac213) e são: