Obtenha os pontos da reta r que eqüidistam das retas s e t :
r: x-1=2 y=z
s: x=y=0
t: x-2=z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão está pedindo é para encontrar os pontos na reta que estão na mesma distância das retas e . A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente conceitos sobre distâncias entre pontos e retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar uma reta e calcular a distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas que temos:
  • Reta :
  • Reta :
  • Reta :
Para facilitar, vamos parametrizar a reta . A parametrização serve para expressar qualquer ponto na reta em função de um parâmetro, geralmente chamado de .

Passo 3

Parametrizando a reta x = 1 + t y = dfract2 z = t :
A equação pode ser escrita em termos de um parâmetro :
Então, qualquer ponto na reta pode ser representado como .

Passo 4

Agora, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto a uma reta no espaço. A fórmula para a distância D = dfrac|v times PQ||v| de um ponto a uma reta definida por um ponto e um vetor diretor é:
Onde representa o produto vetorial.

Passo 5

Vamos aplicar essa fórmula para calcular a distância de às retas e .
Primeiro, para a reta :
  • Um ponto na reta é .
  • O vetor diretor de é (obtido das igualdades ).
Já para a reta :
  • Um ponto na reta é .
  • O vetor diretor de é (obtido das igualdades ).

Passo 6

Calculando as distâncias:
  1. Distância de PQs = P(t) - Qs = (1 + t, dfract2, t) à reta vs times PQs = i & j & k 1 & 1 & 1 1 + t & dfract2 & t = (1 cdot t - 1 cdot dfract2)i - (1 cdot t - 1 cdot (1 + t))j + (1 cdot dfract2 - 1 cdot (1 + t))k :
= (dfract2)i - (-1)j + (-dfract2 -1)k
= (dfract2)i + j - (dfract2 +1)k
Simplificando:
|vs times PQs| = raiz(dfract2)^2 + 1^2 + (dfract2 +1)^2
|vs| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
O módulo desse vetor é:
Ds = dfracraiz(dfract2)^2 + 1 + (dfract2 +1)^2raiz3
E o módulo de PQt = P(t) - Qt = (1 + t -2, dfract2 -0, t -0) = (t -1, dfract2, t) é:
vt times PQt = i & j & k 0 & 0 & 1 t -1 & dfract2 & t = (0 cdot t - 1 cdot dfract2)i - 0 cdot t -1 cdot (t -1)j + 0 cdot dfract2 -0 cdot (t -1)k
Então, a distância é:
= (-dfract2)i + (t -1)j + 0k
  1. Distância de |vt times PQt| = raiz(-dfract2)^2 + (t -1)^2 à reta |vt| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1 :
Dt = raiz(dfract2)^2 + (t -1)^2
Simplificando:
O módulo desse vetor é:
E o módulo de é:
Então, a distância é:

Passo 7

Queremos que dfracraiz(dfract2)^2 + 1 + (dfract2 +1)^2raiz3 = raiz(dfract2)^2 + (t -1)^2 . Então, igualamos as duas expressões:
dfrac(dfract2)^2 + 1 + (dfract2 +1)^23 = (dfract2)^2 + (t -1)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
dfracdfract^24 + 1 + dfract^24 + t +13 = dfract^24 + t^2 -2t +1
Simplificando a equação:
dfracdfract^22 + t +23 = dfrac5t^24 -2t +1
12 cdot dfracdfract^22 + t +23 = 12 cdot (dfrac5t^24 -2t +1)
Multiplicando ambos os lados por 12 para eliminar os denominadores:
4(dfract^22 + t +2) = 15t^2 -24t +12
2t^2 +4t +8 = 15t^2 -24t +12
0 = 13t^2 -28t +4
Levantando todos os termos para um lado:
t = dfrac28 pm raiz(-28)^2 -4 cdot 13 cdot42 cdot13 = dfrac28 pm raiz784 -20826 = dfrac28 pm raiz57626 = dfrac28 pm2426
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
t1 = dfrac5226 = 2
Portanto:
t2 = dfrac426 = dfrac213

Resposta

Os pontos na reta P(2) = (1 + 2, dfrac22, 2) = (3, 1, 2) que estão equidistantes das retas P(dfrac213) = (1 + dfrac213, dfracdfrac2132, dfrac213) = (dfrac1513, dfrac113, dfrac213) e são:

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