Dados os pontos A ( -3 , -2 ) , B ( -1 , 2 ) , C ( 0 ,3) e D ( 2 , 1 ) , determine as coordenadas do ponto E ( x , y ) , de modo que não seja possível construir os triângulos de ABE e CDE.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos no plano: A (-3, -2), B (-1, 2), C (0,3) e D (2,1). A gente precisa encontrar as coordenadas do ponto E (x, y) de forma que não seja possível formar os triângulos ABE e CDE. Isso significa que E deve estar em posições que façam com que A, B, E e C, D, E estejam alinhados, ou seja, colineares. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas e métodos para encontrar pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos A e B. Para isso, usamos a fórmula da equação da reta que passa por dois pontos:
y - y1 = m(x - x1)
Onde $ m $ é o coeficiente angular, calculado por:
m
Vamos calcular $ m_{AB} $:
m = y2 - y1x2 - x1
Agora, usando o ponto A (-3, -2) para escrever a equação:
mAB
Então, a equação da reta AB é $ y = 2x + 4 $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos C e D. Usando a mesma fórmula, primeiro calculamos $ m_{CD} $:
mCD
Usando o ponto C (0,3) para escrever a equação:
mCD = 1 - 32 - 0 = -22 = -1
Portanto, a equação da reta CD é $ y = -x + 3 $.

Passo 4

Agora que temos as equações das retas AB e CD, precisamos encontrar o ponto E onde elas se interceptam. Ou seja, encontrar (x, y) que satisfazem ambas as equações:
2x + 4 = -x + 3
Vamos resolver essa equação para x:
2x + x = 3 - 4 Rightarrow 3x = -1 Rightarrow x = -13
Agora, substituímos o valor de x em uma das equações para encontrar y. Vamos usar $ y = 2x + 4 $:
y = 2x + 4
Então, as coordenadas de E são $ \left(-\frac{1}{3}, \frac{10}{3}\right) $.

Resposta

As coordenadas do ponto E são $ \left(-\frac{1}{3}, \frac{10}{3}\right) $.

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