Entre duas polias, uma com diâmetro de 120 mm e outra com diâmetro de 216 mm, são colocadas três polias cujos diâmetros formam, com essas duas, uma PA. Determine o diâmetro das três polias.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre duas polias com diâmetros conhecidos: uma de 120 mm e outra de 216 mm. Entre essas duas, temos que colocar três polias cujos diâmetros, junto com as duas já dadas, formam uma Progressão Aritmética (PA). Vamos precisar entender o que é uma PA e como usá-la para encontrar os diâmetros das três polias que faltam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma Progressão Aritmética. Em uma PA, a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma, chamada de razão. No nosso caso, temos 5 termos em PA: 120 mm, três polias desconhecidas e 216 mm.
Passo 3
Vamos chamar os diâmetros das três polias desconhecidas de $ a_1 $, $ a_2 $ e $ a_3 $. Assim, nossa sequência completa fica:
Passo 4
Em uma PA com 5 termos, a diferença (razão) entre cada termo consecutivo é a mesma. Vamos chamar essa razão de $ r $. Então podemos escrever:
Passo 5
Agora, vamos resolver a última equação para encontrar $ r $:
Subtraindo 120 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 4:
Passo 6
Com a razão $ r = 24 $ mm, podemos encontrar os diâmetros das três polias:
Resposta
Os diâmetros das três polias são 144 mm, 168 mm e 192 mm.