Entre duas polias, uma com diâmetro de 120 mm e outra com diâmetro de 216 mm, são colocadas três polias cujos diâmetros formam, com essas duas, uma PA. Determine o diâmetro das três polias. ​

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre duas polias com diâmetros conhecidos: uma de 120 mm e outra de 216 mm. Entre essas duas, temos que colocar três polias cujos diâmetros, junto com as duas já dadas, formam uma Progressão Aritmética (PA). Vamos precisar entender o que é uma PA e como usá-la para encontrar os diâmetros das três polias que faltam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma Progressão Aritmética. Em uma PA, a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma, chamada de razão. No nosso caso, temos 5 termos em PA: 120 mm, três polias desconhecidas e 216 mm.

Passo 3

Vamos chamar os diâmetros das três polias desconhecidas de $ a_1 $, $ a_2 $ e $ a_3 $. Assim, nossa sequência completa fica:
a1

Passo 4

Em uma PA com 5 termos, a diferença (razão) entre cada termo consecutivo é a mesma. Vamos chamar essa razão de $ r $. Então podemos escrever:
r

Passo 5

Agora, vamos resolver a última equação para encontrar $ r $:
r
Subtraindo 120 de ambos os lados:
216 = 120 + 4r
Dividindo ambos os lados por 4:
96 = 4r

Passo 6

Com a razão $ r = 24 $ mm, podemos encontrar os diâmetros das três polias:
r = 24

Resposta

Os diâmetros das três polias são 144 mm, 168 mm e 192 mm.

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