Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores v1=2 i-j, v2=6 i+m j-2 k e v3=-4 i+k seja igual a 10 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor de para que o volume de um paralelepípedo formado por três vetores específicos seja igual a 10. Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, mais precisamente o cálculo do determinante de uma matriz formada por esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o volume V = | det v1 & v2 & v3 | de um paralelepípedo determinado por três vetores , e é dado pelo valor absoluto do determinante da matriz que tem esses vetores como colunas. Ou seja:

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores fornecidos:
v1 = 2i - j Rightarrow 2 -1 0 , v2 = 6i + mj - 2k Rightarrow 6 m -2 , v3 = -4i + k Rightarrow -4 0 1
Assim, a matriz fica:
2 & 6 & -4 -1 & m & 0 0 & -2 & 1

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar:
det = 2 cdot (m cdot 1 - 0 cdot (-2)) - 6 cdot (-1 cdot 1 - 0 cdot 0) + (-4) cdot (-1 cdot (-2) - m cdot 0)
Simplificando:
det = 2(m) - 6(-1) + (-4)(2) = 2m + 6 - 8 = 2m - 2

Passo 5

Sabemos que o volume |2m - 2| = 10 é igual a 10, então:
2m = 12 Rightarrow m = 6
Isso nos dá duas equações para resolver:
  1. 2m = -8 Rightarrow m = -4
Vamos resolver cada uma:
Para :
Para :

Resposta

O valor de pode ser ou .

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