Calcule , sabendo que , sendo dois a dois ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o valor absoluto do produto misto de três vetores , e , que é representado por . A matéria envolvida aqui é álgebra vetorial, especificamente o conceito de produto misto e ortogonalidade entre vetores. Para resolver, vamos precisar das magnitudes dos vetores e do fato de que eles são dois a dois ortogonais, ou seja, formam ângulos de 90 graus entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto misto . Esse produto é definido como o determinante da matriz formada pelos vetores , e como colunas. Geometricamente, ele representa o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores. O valor absoluto nos dá esse volume sem considerar a orientação dos vetores.

Passo 3

Agora, como os vetores são dois a dois ortogonais, isso simplifica bastante as coisas. Quando vetores são ortogonais, o produto escalar entre eles é zero, o que também facilita o cálculo do determinante. Além disso, o volume do paralelepípedo nesse caso é simplesmente o produto das magnitudes dos vetores.

Passo 4

Vamos aplicar isso na prática. As magnitudes dos vetores são:
Como eles são ortogonais entre si, temos:

Passo 5

Substituindo os valores das magnitudes na fórmula:

Resposta

O valor absoluto do produto misto é .

Exercícios relacionados

O vetor é ortogonal aos vetores e e o ângulo desses últimos é . Sendo , calcule , sabendo que é uma base de orientação positiva.
O ponto é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são e . Determinar o valor de para que o volume deste paralelepípedo seja igual ao 20 u.v. (unidades de volume).
Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores e seja igual a 10 .
Determinar m e n para que se tenha