Calcule
, sabendo que
, sendo
dois a dois ortogonais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o valor absoluto do produto misto de três vetores
,
e
, que é representado por
. A matéria envolvida aqui é álgebra vetorial, especificamente o conceito de produto misto e ortogonalidade entre vetores. Para resolver, vamos precisar das magnitudes dos vetores e do fato de que eles são dois a dois ortogonais, ou seja, formam ângulos de 90 graus entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o produto misto
. Esse produto é definido como o determinante da matriz formada pelos vetores
,
e
como colunas. Geometricamente, ele representa o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores. O valor absoluto nos dá esse volume sem considerar a orientação dos vetores.
Passo 3
Agora, como os vetores são dois a dois ortogonais, isso simplifica bastante as coisas. Quando vetores são ortogonais, o produto escalar entre eles é zero, o que também facilita o cálculo do determinante. Além disso, o volume do paralelepípedo nesse caso é simplesmente o produto das magnitudes dos vetores.
Passo 4
Vamos aplicar isso na prática. As magnitudes dos vetores são:
Como eles são ortogonais entre si, temos:
Passo 5
Substituindo os valores das magnitudes na fórmula:
Resposta
O valor absoluto do produto misto é
.
Exercícios relacionados
O vetor
é ortogonal aos vetores
e
e o ângulo desses últimos é
. Sendo
, calcule
, sabendo que
é uma base de orientação positiva.
O ponto
é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são
e
. Determinar o valor de
para que o volume deste paralelepípedo seja igual ao 20 u.v. (unidades de volume).
Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
e
seja igual a 10 .
Determinar m e n para que se tenha