Calcule |[u, v, w]|, sabendo que |u|=1,|v|=2,|w|=3, sendo u, v, w dois a dois ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o valor absoluto do produto misto de três vetores u, v e w, que é representado por |[u, v, w]|. A matéria envolvida aqui é álgebra vetorial, especificamente o conceito de produto misto e ortogonalidade entre vetores. Para resolver, vamos precisar das magnitudes dos vetores e do fato de que eles são dois a dois ortogonais, ou seja, formam ângulos de 90 graus entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto misto [u, v, w]. Esse produto é definido como o determinante da matriz formada pelos vetores u, v e w como colunas. Geometricamente, ele representa o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores. O valor absoluto nos dá esse volume sem considerar a orientação dos vetores.

Passo 3

Agora, como os vetores são dois a dois ortogonais, isso simplifica bastante as coisas. Quando vetores são ortogonais, o produto escalar entre eles é zero, o que também facilita o cálculo do determinante. Além disso, o volume do paralelepípedo nesse caso é simplesmente o produto das magnitudes dos vetores.

Passo 4

Vamos aplicar isso na prática. As magnitudes dos vetores são:
|u| = 1, |v| = 2, |w| = 3
Como eles são ortogonais entre si, temos:
|[u, v, w]| = |u| times |v| times |w|

Passo 5

Substituindo os valores das magnitudes na fórmula:
|[u, v, w]| = 1 times 2 times 3 = 6

Resposta

O valor absoluto do produto misto é 6.

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