Determinar m e n para que se tenha (m, n, 2) cdot((3,1,2) times(0,1,-1))=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de m e n de modo que o produto escalar entre o vetor e o resultado do produto vetorial entre e seja igual a 9. Para isso, vamos usar as definições de produto vetorial e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre os vetores u times v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1) e (3, 1, 2) times (0, 1, -1) = (1*(-1) - 2*1, 2*0 - 3*(-1), 3*1 - 1*0) = (-1 - 2, 0 + 3, 3 - 0) = (-3, 3, 3) . O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 3

Agora que temos o resultado do produto vetorial, que é o vetor a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 , vamos calcular o produto escalar com o vetor (m, n, 2) cdot (-3, 3, 3) = m*(-3) + n*3 + 2*3 = -3m + 3n + 6 . O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso:

Passo 4

Sabemos que esse produto escalar deve ser igual a 9, então temos a equação:
-3m + 3n + 6 = 9
Vamos simplificar essa equação:
-3m + 3n = 9 - 6 -3m + 3n = 3
Podemos dividir todos os termos por 3 para simplificar ainda mais:
- m + n = 1
Isso nos dá uma relação entre m e n.

Resposta

A relação entre m e n é . Logo, para qualquer valor de m, n deve ser igual a m mais 1.

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