Determinar m e n para que se tenha

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de m e n de modo que o produto escalar entre o vetor e o resultado do produto vetorial entre e seja igual a 9. Para isso, vamos usar as definições de produto vetorial e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre os vetores e . O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 3

Agora que temos o resultado do produto vetorial, que é o vetor , vamos calcular o produto escalar com o vetor . O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso:

Passo 4

Sabemos que esse produto escalar deve ser igual a 9, então temos a equação:
Vamos simplificar essa equação:
Podemos dividir todos os termos por 3 para simplificar ainda mais:
Isso nos dá uma relação entre m e n.

Resposta

A relação entre m e n é . Logo, para qualquer valor de m, n deve ser igual a m mais 1.

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Calcule , sabendo que , sendo dois a dois ortogonais.
Calcular o volume do tetraedro ABCD , sendo dados:
e
Determine para que e sejam coplanares.