O vetor é ortogonal aos vetores e e o ângulo desses últimos é . Sendo , calcule , sabendo que é uma base de orientação positiva.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem três vetores: , e . Sabemos que é ortogonal (ou seja, forma um ângulo de 90°) com e . Além disso, o ângulo entre e é de . Também temos que os módulos desses vetores estão relacionados: . O que a gente precisa calcular é o produto misto , sabendo que forma uma base orientada positivamente. Para resolver isso, vamos precisar entender de conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar os módulos dos vetores e . Sabemos que e que . Então:
E como , também temos:

Passo 3

Agora, como é ortogonal a e a , o produto escalar entre e , assim como entre e , é zero:
Isso nos diz que está perpendicular tanto a quanto a .

Passo 4

O produto misto pode ser encontrado usando a definição:
Como forma uma base orientada positivamente, o resultado do produto misto será positivo.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial . A magnitude desse produto é dada por:
Onde é o ângulo entre e . Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, já que é ortogonal ao produto vetorial (porque é ortogonal a e ), o ângulo entre e é de ou . Mas, como a base é orientada positivamente, usamos , então .

Passo 7

Aplicando na definição do produto misto:

Resposta

O valor do produto misto é igual a 27.

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O ponto é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são e . Determinar o valor de para que o volume deste paralelepípedo seja igual ao 20 u.v. (unidades de volume).
Sabendo que e , calcular
Calcule , sabendo que , sendo dois a dois ortogonais.
Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores e seja igual a 10 .