O vetor u é ortogonal aos vetores v e barw e o ângulo desses últimos é theta=30^circ. Sendo |u|=2|v|=2|w|=6, calcule [u, v, w], sabendo que (u, v, w) é uma base de orientação positiva.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem três vetores: u, v e w. Sabemos que u é ortogonal (ou seja, forma um ângulo de 90°) com v e w. Além disso, o ângulo entre v e w é de 30^circ. Também temos que os módulos desses vetores estão relacionados: |u| = 2|v| = 2|w| = 6. O que a gente precisa calcular é o produto misto [u, v, w], sabendo que (u, v, w) forma uma base orientada positivamente. Para resolver isso, vamos precisar entender de conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar os módulos dos vetores v e w. Sabemos que |u| = 6 e que |u| = 2|v|. Então:
2|v| = 6 Rightarrow |v| = 3
E como |v| = |w|, também temos:
|w| = 3

Passo 3

Agora, como u é ortogonal a v e a w, o produto escalar entre u e v, assim como entre u e w, é zero:
u cdot v = 0 u cdot w = 0
Isso nos diz que u está perpendicular tanto a v quanto a w.

Passo 4

O produto misto [u, v, w] pode ser encontrado usando a definição:
[u, v, w] = u cdot (v times w)
Como (u, v, w) forma uma base orientada positivamente, o resultado do produto misto será positivo.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial v times w. A magnitude desse produto é dada por:
|v times w| = |v||w|sintheta
Onde theta é o ângulo entre v e w. Substituindo os valores:
|v times w| = 3 times 3 times sin30^circ = 9 times 12 = 4,5

Passo 6

Agora, já que u é ortogonal ao produto vetorial v times w (porque u é ortogonal a v e w), o ângulo entre u e (v times w) é de 0^circ ou 180^circ. Mas, como a base é orientada positivamente, usamos 0^circ, então cos0^circ = 1.

Passo 7

Aplicando na definição do produto misto:
[u, v, w] = |u||v times w|cos0^circ = 6 times 4,5 times 1 = 27

Resposta

O valor do produto misto [u, v, w] é igual a 27.

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