O vetor
é ortogonal aos vetores
e
e o ângulo desses últimos é
. Sendo
, calcule
, sabendo que
é uma base de orientação positiva.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem três vetores:
,
e
. Sabemos que
é ortogonal (ou seja, forma um ângulo de 90°) com
e
. Além disso, o ângulo entre
e
é de
. Também temos que os módulos desses vetores estão relacionados:
. O que a gente precisa calcular é o produto misto
, sabendo que
forma uma base orientada positivamente. Para resolver isso, vamos precisar entender de conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar os módulos dos vetores
e
. Sabemos que
e que
. Então:
E como
, também temos:
Passo 3
Agora, como
é ortogonal a
e a
, o produto escalar entre
e
, assim como entre
e
, é zero:
Isso nos diz que
está perpendicular tanto a
quanto a
.
Passo 4
O produto misto
pode ser encontrado usando a definição:
Como
forma uma base orientada positivamente, o resultado do produto misto será positivo.
Passo 5
Vamos calcular o produto vetorial
. A magnitude desse produto é dada por:
Onde
é o ângulo entre
e
. Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, já que
é ortogonal ao produto vetorial
(porque
é ortogonal a
e
), o ângulo entre
e
é de
ou
. Mas, como a base é orientada positivamente, usamos
, então
.
Passo 7
Aplicando na definição do produto misto:
Resposta
O valor do produto misto
é igual a 27.
Exercícios relacionados
O ponto
é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são
e
. Determinar o valor de
para que o volume deste paralelepípedo seja igual ao 20 u.v. (unidades de volume).
Sabendo que
e
, calcular
Calcule
, sabendo que
, sendo
dois a dois ortogonais.
Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
e
seja igual a 10 .