Calcular o valor de x de maneira que seja 120^circ o ângulo entre os vetores u=(-2,1, x+1) e v=(1,-2,1).

Passo 1

Beleza, o que a questão está pedindo é para encontrarmos o valor de de forma que o ângulo entre os vetores e seja de . Para resolver isso, vamos usar o produto escalar de vetores, que nos ajuda a encontrar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do produto escalar entre dois vetores:
u cdot v = |u| , |v| , cos(theta)
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (ou módulos) dos vetores.
  • é o ângulo entre os vetores.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar u cdot v = |u| , |v| times (-0.5) tal que . Sabemos que . Então, a equação fica:

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar u cdot v = (-2)(1) + (1)(-2) + (x+1)(1) = -2 -2 + x +1 = x - 3 :

Passo 5

Agora, vamos calcular as normas dos vetores.
Para |u| = raiz(-2)^2 + 1^2 + (x+1)^2 = raiz4 + 1 + x^2 + 2x +1 = raizx^2 + 2x + 6 :
|v| = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 +1 = raiz6
Para :

Passo 6

Substituindo na equação do Passo 3:
x - 3 = raizx^2 + 2x + 6 times raiz6 times (-0.5)
Simplificando:
x - 3 = -0.5 times raiz6 times raizx^2 + 2x + 6

Passo 7

Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
(x - 3)^2 = (-0.5 times raiz6 times raizx^2 + 2x + 6)^2
Simplificando o lado direito:
(x - 3)^2 = 0.25 times 6 times (x^2 + 2x + 6) = 1.5(x^2 + 2x + 6)

Passo 8

Expandindo o lado esquerdo:
x^2 - 6x + 9 = 1.5x^2 + 3x + 9

Passo 9

Reorganizando a equação para trazer todos os termos para um lado:
x^2 - 6x + 9 - 1.5x^2 - 3x - 9 = 0
-0.5x^2 - 9x = 0
Multiplicando ambos os lados por -2 para simplificar:
x^2 + 18x = 0

Passo 10

Fatorando a equação:
x(x + 18) = 0
Portanto, as soluções são:
x = 0 ou x = -18

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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