Calcular o valor de
de maneira que seja
o ângulo entre os vetores
e
.
Passo 1
Beleza, o que a questão está pedindo é para encontrarmos o valor de
de forma que o ângulo entre os vetores
e
seja de
. Para resolver isso, vamos usar o produto escalar de vetores, que nos ajuda a encontrar o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do produto escalar entre dois vetores:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores. -
e são as normas (ou módulos) dos vetores. -
é o ângulo entre os vetores.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar
tal que
. Sabemos que
. Então, a equação fica:
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as normas dos vetores.
Para
:
Para
:
Passo 6
Substituindo na equação do Passo 3:
Simplificando:
Passo 7
Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Simplificando o lado direito:
Passo 8
Expandindo o lado esquerdo:
Passo 9
Reorganizando a equação para trazer todos os termos para um lado:
Multiplicando ambos os lados por -2 para simplificar:
Passo 10
Fatorando a equação:
Portanto, as soluções são:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são
e
.