Os pontos A=(a1, a2) e C=(c1, c2) são vértices opostos de um quadrado. Determinar os outros dois vértices.

Passo 1

Então, a gente tem dois pontos que são vértices opostos de um quadrado, chamados A=(a1, a2) e C=(c1, c2). O objetivo aqui é descobrir as coordenadas dos outros dois vértices desse quadrado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre como encontrar o centro de um quadrado e como calcular novos pontos a partir dele.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro do quadrado. Como A e C são vértices opostos, o centro M fica exatamente no meio entre eles. A fórmula para encontrar o centro entre dois pontos é:
M = ( a1 + c12, a2 + c22 )

Passo 3

Agora que temos o centro M, vamos determinar as distâncias das coordenadas de A e C até M. Isso nos ajuda a entender como os outros vértices estarão posicionados em relação ao centro.

Passo 4

Para encontrar os outros dois vértices, vamos usar uma rotação de 90 graus em torno do centro M. Isso significa que vamos girar o ponto A em 90 graus para chegar em um dos vértices e girar o ponto C para chegar no outro vértice.
A rotação de um ponto (x, y) 90 graus em sentido anti-horário ao redor do ponto (h, k) é dada por:
(x', y') = (h - (y - k), k + (x - h))

Passo 5

Aplicando essa rotação ao ponto A:
B = ( Mx - (a2 - My), My + (a1 - Mx) )
E ao ponto C:
D = ( Mx - (c2 - My), My + (c1 - Mx) )

Resposta

Os outros dois vértices do quadrado são B = ( a1 + c12 - (a2 - a2 + c22), a2 + c22 + (a1 - a1 + c12) ) e D = ( a1 + c12 - (c2 - a2 + c22), a2 + c22 + (c1 - a1 + c12) ).

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