Considere os vetores
e
. Se o produto interno
é máximo, determine o ângulo entre os vetores
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores,
e
. O exercício pede para a gente achar o ângulo entre esses vetores quando o produto interno
for máximo. Vamos precisar usar conceitos de produto interno e como ele se relaciona com o ângulo entre vetores. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores. Para vetores
e
, o produto interno é dado por:
Isso nos dá um número que também está relacionado ao ângulo entre os vetores.
Passo 3
Vamos calcular o produto interno
usando os vetores dados:
Agora, temos uma expressão quadrática em termos de
:
Passo 4
Queremos que esse produto interno seja máximo. Como temos uma parábola com coeficiente de
negativo, o ponto de máximo está no vértice. A fórmula para a coordenada
do vértice de uma parábola
é:
Aqui,
e
, então:
Portanto, o valor de
que maximiza
é
.
Passo 5
Agora que temos
, vamos encontrar os vetores
e
nesse valor:
Para calcular o ângulo entre eles, precisamos dos comprimentos (módulos) dos vetores.
Passo 6
O módulo de um vetor
é dado por:
Vamos calcular os módulos de
e
:
Passo 7
O ângulo
entre dois vetores pode ser encontrado usando a fórmula do produto interno:
Já sabemos que
, que no máximo para
é:
Substituindo na fórmula:
Então, para encontrar
:
Resposta
O ângulo entre os vetores
e
quando o produto interno
é máximo é aproximadamente
.