Considere os vetores u=(-x, 2 x, 1) e v=(x, 4,-7). Se o produto interno u cdot v é máximo, determine o ângulo entre os vetores u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e . O exercício pede para a gente achar o ângulo entre esses vetores quando o produto interno for máximo. Vamos precisar usar conceitos de produto interno e como ele se relaciona com o ângulo entre vetores. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores. Para vetores a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 e , o produto interno é dado por:
Isso nos dá um número que também está relacionado ao ângulo entre os vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto interno u cdot v = (-x)(x) + (2x)(4) + (1)(-7) = -x^2 + 8x - 7 usando os vetores dados:
u cdot v = -x^2 + 8x - 7
Agora, temos uma expressão quadrática em termos de :

Passo 4

Queremos que esse produto interno seja máximo. Como temos uma parábola com coeficiente de x = -b2a negativo, o ponto de máximo está no vértice. A fórmula para a coordenada x = -82(-1) = 82 = 4 do vértice de uma parábola é:
Aqui, e , então:
Portanto, o valor de que maximiza é .

Passo 5

Agora que temos u = (-4, 8, 1) v = (4, 4, -7) , vamos encontrar os vetores e nesse valor:
Para calcular o ângulo entre eles, precisamos dos comprimentos (módulos) dos vetores.

Passo 6

O módulo de um vetor |a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2 é dado por:
|u| = raiz(-4)^2 + 8^2 + 1^2 = raiz16 + 64 + 1 = raiz81 = 9 |v| = raiz4^2 + 4^2 + (-7)^2 = raiz16 + 16 + 49 = raiz81 = 9
Vamos calcular os módulos de e :

Passo 7

O ângulo u cdot v = |u| |v| cos(theta) entre dois vetores pode ser encontrado usando a fórmula do produto interno:
u cdot v = -(4)^2 + 8(4) - 7 = -16 + 32 - 7 = 9
Já sabemos que 9 = 9 times 9 times cos(theta) 9 = 81 cos(theta) cos(theta) = 981 = 19 , que no máximo para theta = arccos( 19 ) approx 83,62^circ é:
Substituindo na fórmula:
Então, para encontrar :

Resposta

O ângulo entre os vetores e quando o produto interno é máximo é aproximadamente .

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