Considere os pontos A=(1,1,3), B=(-2,2,4), C=(2,-1,5) e D=(-6,5,3). Verifique a colineareidade entre estes pontos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos no espaço tridimensional: , , e . A pergunta quer saber se esses pontos estão alinhados, ou seja, se todos eles estão na mesma linha reta. Para verificar isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente analisando os vetores que ligam esses pontos.

Passo 2

Para verificar se os pontos AB = B - A = (-2-1, 2-1, 4-3) = (-3, 1, 1) , AC = C - A = (2-1, -1-1, 5-3) = (1, -2, 2) , AD = D - A = (-6-1, 5-1, 3-3) = (-7, 4, 0) e estão colineares, vamos calcular os vetores que partem de para cada um dos outros pontos. Esses vetores são:

Passo 3

Agora, para os pontos estarem colineares, os vetores AC = lambda AB , AD = mu AB e devem ser múltiplos escalares uns dos outros. Isso significa que deve existir um número tal que:
E também outro número tal que:
Vamos verificar se esses e existem e são consistentes.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar (1, -2, 2) = lambda (-3, 1, 1) para 1 = -3lambda (1) :
-2 = lambda (2)
Isso nos dá o sistema de equações:
2 = lambda (3)
Observamos que da equação (2), , mas da equação (3), . Como não é o mesmo nas duas equações, os vetores e não são múltiplos escalares.

Passo 5

Como já encontramos uma inconsistência na relação entre e , não é necessário verificar . Se os vetores não são múltiplos escalares, isso significa que os pontos não estão alinhados na mesma linha reta.

Resposta

Os pontos , , e não estão colineares.

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