Considere os vetores u=(-x, 2 x, 1) e v=(x, 4,-7). Para que valorea de x o produto interno u cdot v é máximo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u=(-x, 2x, 1) e v=(x, 4, -7), e queremos descobrir para qual valor de x o produto interno u cdot v é máximo. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial e análise de funções para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores. Para dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3), o produto interno é calculado assim:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
No nosso caso, vamos aplicar essa fórmula aos vetores u e v.

Passo 3

Vamos calcular o produto interno u cdot v substituindo os componentes dos vetores:
u cdot v = (-x)(x) + (2x)(4) + (1)(-7)
Fazendo as contas:
u cdot v = -x^2 + 8x - 7
Agora temos uma expressão quadrática em termos de x.

Passo 4

Para encontrar o valor de x que maximiza essa expressão, vamos lembrar que uma função quadrática f(x) = ax^2 + bx + c atinge seu máximo (se a < 0) no vértice da parábola, que está em x = -b2a.
No nosso caso, a = -1, b = 8. Então:
x = -82(-1) = -8-2 = 4

Resposta

O valor de x que maximiza o produto interno u cdot v é x = 4.

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