Calcular os valores de m e n para que a reta r:ly=2 x-3 z=-x+4 esteja contida no plano n x+m y-z-2=0. Resp: m=-2 e n=3.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar os valores de e para que uma reta esteja contida em um plano. Para isso, vamos usar conceitos de equações de retas e planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações da reta y = 2x - 3 z = -x + 4 :
Essas equações paramétricas descrevem todos os pontos que pertencem à reta .

Passo 3

A equação do plano é dada por:
n x + m y - z - 2 = 0
Queremos que todos os pontos da reta satisfaçam essa equação do plano. Ou seja, substituindo e das equações da reta na equação do plano, a igualdade deve ser verdadeira para qualquer valor de .

Passo 4

Vamos substituir n x + m (2x - 3) - (-x + 4) - 2 = 0 e n x + 2m x - 3m + x - 4 - 2 = 0 na equação do plano:
(n + 2m + 1)x - 3m - 6 = 0
Distribuindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Para que essa igualdade seja válida para qualquer n + 2m + 1 = 0 -3m - 6 = 0 , os coeficientes diante de e o termo constante devem ser iguais a zero. Assim, temos o sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo a segunda equação para -3m - 6 = 0 -3m = 6 m = -2 :

Passo 7

Agora, substituímos n + 2(-2) + 1 = 0 n - 4 + 1 = 0 n - 3 = 0 n = 3 na primeira equação para encontrar :

Resposta

Os valores são e .

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