Verificar se são coplanares os pontos
(b) A(1,0,2), B(-1,0,3), C(2,4,1) e D(-1,-2,3). Resp. Não

Passo 1

Então, a gente tem quatro pontos no espaço: , , e . A questão é verificar se esses pontos estão todos no mesmo plano, ou seja, se são coplanares. Para resolver isso, vamos usar vetores e calcular o produto misto, que ajuda a saber se os pontos estão ou não no mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, vamos criar vetores a partir do ponto AB = B - A = (-1-1,, 0-0,, 3-2) = (-2,, 0,, 1) para os outros pontos:
AC = C - A = (2-1,, 4-0,, 1-2) = (1,, 4,, -1)
AD = D - A = (-1-1,, -2-0,, 3-2) = (-2,, -2,, 1)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto misto desses três vetores. O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada por eles:
Produto Misto = -2 & 0 & 1 1 & 4 & -1 -2 & -2 & 1
Calculando o determinante:
= -2 times (4 times 1 - (-1) times (-2)) - 0 times (1 times 1 - (-1) times (-2)) + 1 times (1 times (-2) - 4 times (-2))
= -2 times (4 - 2) - 0 times (1 - 2) + 1 times (-2 + 8)
= -2 times 2 + 0 times (-1) + 1 times 6
= -4 + 0 + 6
= 2

Passo 4

Se o produto misto é diferente de zero, isso significa que os vetores não estão no mesmo plano, ou seja, os quatro pontos não são coplanares. No nosso caso, o resultado foi 2, que é diferente de zero.

Resposta

Não, os pontos , , e não são coplanares.

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