Determinar o valor de m para que as retas r1:ly=m x+2 z=3 x-1 e r2:lx=t y=1+2 t z=-2 t sejam coplanares. Resp: m=-3

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Queremos encontrar o valor de para que as retas e estejam no mesmo plano, ou seja, sejam coplanares. Para isso, precisamos entender conceitos de geometria analítica, especificamente sobre condições de coplanaridade entre retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas dadas:
A reta y = m x + 2 z = 3 x - 1 é definida por:
x = t y = 1 + 2 t z = -2 t
Isso significa que podemos expressar e em função de .
A reta é parametrizada por:
Aqui, é o parâmetro que varia, e expressa todas as coordenadas em função desse parâmetro.

Passo 3

Para verificar se as duas retas são coplanares, usamos o seguinte critério:
Duas retas são coplanares se o vetor diretor de uma reta pode ser escrito como uma combinação linear do vetor diretor da outra reta e do vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta.
Vamos identificar:
  • Vetor diretor de : Derivamos em relação a . Se varia, varia como vezes , e varia como . Então, o vetor diretor de é .
  • Vetor diretor de : A partir das equações paramétricas, à medida que varia, varia como , como , e como . Então, o vetor diretor de é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um vetor que liga um ponto de y = m cdot 0 + 2 = 2 z = 3 cdot 0 - 1 = -1 Rightarrow P1 = (0, 2, -1) a um ponto de x = 0 y = 1 + 2 cdot 0 = 1 z = -2 cdot 0 = 0 Rightarrow P2 = (0, 1, 0) . Vamos escolher quando P1P2 = P2 - P1 = (0 - 0, 1 - 2, 0 - (-1)) = (0, -1, 1) para facilitar.
Para com :
Para com :
O vetor que liga a é:

Passo 5

Agora, aplicamos o critério de coplanaridade. As retas são coplanares se o determinante formado pelos vetores 1 & m & 3 1 & 2 & -2 0 & -1 & 1 = 0 , 1 cdot (2 cdot 1 - (-2) cdot (-1)) - m cdot (1 cdot 1 - (-2) cdot 0) + 3 cdot (1 cdot (-1) - 2 cdot 0) = 0 e 1 cdot (2 - 2) - m cdot (1 - 0) + 3 cdot (-1 - 0) = 0 0 - m - 3 = 0 -m - 3 = 0 -m = 3 m = -3 for zero:
Vamos calcular esse determinante:
Simplificando:

Resposta

O valor de para que as retas e sejam coplanares é .

Exercícios relacionados