Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:
a) A=[cc1 & 3 -1 & 5]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz 1 & 3 -1 & 5 .
Para isso, vamos usar os conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais para entender como uma matriz transforma vetores no espaço. Vamos precisar calcular o determinante e resolver uma equação característica para achar os valores próprios, e depois encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio encontrado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios de det(A - lambda I) = 0 . Os valores próprios A - lambda I = 1 - lambda & 3 -1 & 5 - lambda são encontrados resolvendo a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Vamos calcular :

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(5 - lambda) - (3)(-1)
Vamos expandir essa expressão:
= (1 cdot 5) - (1 cdot lambda) - (lambda cdot 5) + lambda^2 + 3
= 5 - lambda - 5lambda + lambda^2 + 3
= lambda^2 - 6lambda + 8

Passo 4

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os valores próprios:
lambda^2 - 6lambda + 8 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
lambda = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 1 cdot 82 cdot 1
lambda = 6 pm raiz36 - 322
lambda = 6 pm raiz42
lambda = 6 pm 22
Isso nos dá dois valores próprios:
lambda1 = 6 + 22 = 4
lambda2 = 6 - 22 = 2

Passo 5

Agora que temos os valores próprios (A - lambda I)v = 0 e A - 4I = 1 - 4 & 3 -1 & 5 - 4 = -3 & 3 -1 & 1 , vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada um.
Para cada -3v1 + 3v2 = 0 , resolvemos a equação:
-1v1 + v2 = 0
Vamos começar com v2 = v1 :
v1 = 1 1
Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos simplificar a segunda equação:
Assim, um vetor próprio correspondente a é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o vetor próprio para A - 2I = 1 - 2 & 3 -1 & 5 - 2 = -1 & 3 -1 & 3 :
-1v1 + 3v2 = 0
Isso nos dá o sistema de equações:
-1v1 + 3v2 = 0
v1 = 3v2
Ambas as equações são iguais, então podemos expressar v2 = 3 1 em termos de :
Assim, podemos escolher , o que nos dá o vetor próprio:

Resposta

Os valores próprios da matriz v1 = 1 1 e v2 = 3 1 são e . Os vetores próprios correspondentes são:

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