Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz
.
Para isso, vamos usar os conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais para entender como uma matriz transforma vetores no espaço. Vamos precisar calcular o determinante e resolver uma equação característica para achar os valores próprios, e depois encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio encontrado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios de
. Os valores próprios
são encontrados resolvendo a equação característica:
Aqui,
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
. Vamos calcular
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Vamos expandir essa expressão:
Passo 4
Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os valores próprios:
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá dois valores próprios:
Passo 5
Agora que temos os valores próprios
e
, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada um.
Para cada
, resolvemos a equação:
Vamos começar com
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos simplificar a segunda equação:
Assim, um vetor próprio correspondente a
é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o vetor próprio para
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Ambas as equações são iguais, então podemos expressar
em termos de
:
Assim, podemos escolher
, o que nos dá o vetor próprio:
Resposta
Os valores próprios da matriz
são
e
. Os vetores próprios correspondentes são: