Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular os valores próprios (ou autovalores) e os vetores próprios (ou autovetores) da matriz . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre eigenvalores e eigenvetores. Precisamos entender como encontrar esses valores e vetores para a matriz dada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Onde representa o determinante, são os valores próprios e é a matriz identidade.
Isso porque a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal.
Passo 5
Igualamos o determinante a zero para encontrar os valores próprios:
(3 - lambda)(2 - lambda)(-1 - lambda) = 0
Isso nos dá as soluções:
lambda1 = 3, lambda2 = 2, lambda3 = -1
Passo 6
Agora que temos os valores próprios, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes. Para cada , resolvemos , onde é o vetor próprio.