Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:
d) A=[ccc3 & -1 & -3 0 & 2 & -3 0 & 0 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular os valores próprios (ou autovalores) e os vetores próprios (ou autovetores) da matriz . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre eigenvalores e eigenvetores. Precisamos entender como encontrar esses valores e vetores para a matriz dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Onde representa o determinante, são os valores próprios e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 3 - lambda & -1 & -3 0 & 2 - lambda & -3 0 & 0 & -1 - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (3 - lambda) cdot (2 - lambda) cdot (-1 - lambda)
Isso porque a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal.

Passo 5

Igualamos o determinante a zero para encontrar os valores próprios:
(3 - lambda)(2 - lambda)(-1 - lambda) = 0
Isso nos dá as soluções:
lambda1 = 3, lambda2 = 2, lambda3 = -1

Passo 6

Agora que temos os valores próprios, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes. Para cada , resolvemos , onde é o vetor próprio.

Passo 7

Vamos começar com A - 3I = 0 & -1 & -3 0 & -1 & -3 0 & 0 & -4 :
- v2 - 3 v3 = 0 - v2 - 3 v3 = 0 -4 v3 = 0
Resolvendo v1 = 1 0 0 :
Isso nos leva ao sistema de equações:
Da última equação, . Substituindo nas primeiras, . Então, é livre. Podemos escolher .
Portanto, o vetor próprio correspondente a é:

Passo 8

Agora, para A - 2I = 1 & -1 & -3 0 & 0 & -3 0 & 0 & -3 :
v1 - v2 - 3 v3 = 0 -3 v3 = 0 -3 v3 = 0
Resolvendo v2 = 1 1 0 :
Isso nos dá:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, . Podemos escolher , então .
Portanto, o vetor próprio correspondente a é:

Passo 9

Por fim, para A - (-1)I = A + I = 4 & -1 & -3 0 & 3 & -3 0 & 0 & 0 :
4 v1 - v2 - 3 v3 = 0 3 v2 - 3 v3 = 0 0 = 0
Resolvendo 4 v1 - v3 - 3 v3 = 0 4 v1 - 4 v3 = 0 v1 = v3 :
Isso resulta em:
v3 = 1 1 1
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Podemos escolher , então e .
Portanto, o vetor próprio correspondente a é:

Resposta

Os valores próprios da matriz v1 = 1 0 0 , v2 = 1 1 0 , v3 = 1 1 1 são , e . Os vetores próprios correspondentes são:

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